Разрешимая группа

В алгебре группа называется разрешимой, если в ней существует цепочка вложенных коммутантов, последний из которых состоит из нейтрального элемента.

Цепочка коммутантов G⁽ⁱ⁾ определяется так: G⁽⁰⁾ — это сама группа G, а G⁽ⁱ⁾ = G^(i-1)', т.е. это коммутант предыдущего элемента цепочки. Переформулируем теперь определение разрешимости: группа G разрешима, если $\exists m \in \mathbb{N} : G^{(m)} = \{ e \}$.

Свойства

• Если H — нормальная подгруппа в G, H разрешима и факторгруппа G/H разрешима, то G разрешима. В частности,
  • Если группы A и B разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима.
• Группа порядка pⁿ, где p — простое число, разрешима.
• Группы порядков pq и p²q, где p и q — простые числа, разрешима.

Примеры

• Группа невырожденных верхних треугольных матриц UT_n разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Симметрическая группа $S_n$ является разрешимой тогда и только тогда, когда $n\le 4$.

he:חבורה פתירה pl:Grupa rozwiązalna