Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .
Определение[]
Для метрических пространств[]
Для компактного метрического пространства размерность Лебега определяется как наименьшее целое число , обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие , имеющее кратность ;
При этом
- -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а
- кратностью конечного покрытия пространства называется наибольшее такое целое число , что существует точка пространства , содержащаяся в элементах данного покрытия.
Для топологических пространств[]
Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства размерностью Лебега называется наименьшее целое число такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности .
При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .
Примеры[]
- Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
- См. также нульмерное пространство.
- Одномерные пространства: окружность, салфетка Серпиньского, коврик Серпиньского, губка Менгера
- См. также кривая Урысона
История[]
Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность -мерного куба равна . Л. Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Урысон.
Литература[]
Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973 hr:Topološka dimenzija uk:Розмірність Лебега