Викия

Математика

Радикальный признак Коши

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

\sum_{n=1}^\infty a_n

с неотрицательными членами существует такое число d, 0<d<1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство \sqrt[n]{a_n}<dто данный ряд сходится. Радикальный признак Коши/рамка

Предельная формаПравить

Условие радикального признака равносильно следующему:

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;, то
если l<1 ряд сходится,
если l>1 ряд расходится.

Радикальный признак Коши/рамка

ПримерыПравить

1. Ряд

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}
сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}

2. Рассмотрим ряд

\sum_{n=1}^\infty {(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}  =  \lim_{n \to \infty} {(\frac{n-1}{n+1})}^{n-1}  = \lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{2}{n+1})}^{n-1} =  e^{-2} < 1 \Rightarrow ряд сходится

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики