Викия

Математика

Равномерная сходимость

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности f_n:X\to Y, где X — произвольное множество, Y=(Y,d)метрическое пространство, n = 1, 2,\dots, к функции (отображению) f:X\to Y, означающее, что для любого \varepsilon > 0 существует такой номер N_\varepsilon, что для всех номеров n>N_\varepsilon и всех точек x\in X выполняется неравенство

d(f_n(x),f(x))<\varepsilon.

Обычно обозначается f_n\rightrightarrows f.

Это условие равносильно тому, что

\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} d(f_n(x),f(x))=0.

ПримерПравить

  • Последовательность f_n(x)=x^n, n=1,2,\dots равномерно сходится на любом отрезке [0, a], 0 < a < 1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].

СвойстваПравить

  • Если Yлинейное нормированное пространство и последовательности отображений f_n:X\to Y и g_n:X\to Y, n=1,2,\dots равномерно сходятся на множестве X, то последовательности \{ f_n+ g_n\} также как и \{ \alpha f_n\} при любых \alpha\in \R также равномерно сходятся на X.
  • Для вещественно-значных функций (или, более общо, если Yлинейное нормированное кольцо), последовательность отображений f_n:X\to \R, равномерно сходится на множестве X и g:X\to \R ограниченное отображение, то последовательность \{g f_n\} также равномерно сходится на X.
  • Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций f_n:[a,b]\to \R равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции f : [a,b]\to\R, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого x\in [a,b] имеет место равенство
        \lim_{n\to\infty}\int_a^x f_n(t)dt=\int_a^x f(t)dt
    и сходимость последовательности функций
        x\mapsto \int_a^x f_n(t)dt
    на отрезке [a,b] к функции
        x\mapsto \int_a^x f(t)dt
    равномерна.
  • Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций f_n : [a,b] \to\R, сходится в некоторой точке x_0, a последовательность их производных равномерно сходится на [a,b], то последовательность \{f_n\} также равномерно сходится на [a,b], её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

ЛитератураПравить

  • Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
  • Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.he:התכנסות במידה שווה

pl:Zbieżność jednostajna

Викия-сеть

Случайная вики