Викия

Математика

Пфаффиан

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Пфаффиан — характеристика кососимметричной матрицы.

Определитель кососимметричной матрицы можно представить как квадрат некоторого многочлена от элементов матрицы. Этот многочлен называется пфаффиан. Как и определитель, пфаффиан не обнуляется только для 2n\times 2n кососимметричных матриц и в этом случае является многочленом степени n от элементов матрицы.

Примеры Править

\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}=a.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix}
\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.


Стандартное определение Править

Пусть \Pi обозначает множество всех разбиений \{1, 2,.., 2n\} на неупорядоченные пары (всего существует (2n-1)!! таких разбиений). Разбиение \alpha\in \Pi, может быть записано

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

где i_k<j_k и i_1 < i_2 < \cdots < i_n. Пусть

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

обозначает соответственную перестановку, определим знак \mbox{sgn}(\alpha) как знак перестановки \mbox{sgn}(\pi). Нетрудно видеть что \mbox{sgn}(\alpha) не зависит от выбора \pi.

Пусть A = \{a_{ij}\} обозначает 2n\times 2n кососимметричную матрицу. Для разбиения \alpha определим

 A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Теперь можно определить пфаффиан A как

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Пфаффиан n\times n кососимметричной матрицы для нечётного n является нулём по определению.

Альтернативное определение Править

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A = \{a_{ij}\} рассмотрим бивектор:

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.

где \{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\} есть стандартный базис в \mathbb R^{2n}. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},

где \omega^n обозначает внешнее произведение n копий \omega.

Свойства Править

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A и для произвольной 2n\times 2n матрицы B:

  • \mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)
  • \mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)
  • Для блок-диагональной матрицы
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).
  • Для произвольной n\times n матрицы M:
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & M \\ -M^T & 0  \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.

История Править

Термин «пфаффиан» был введён Артуром Кэли и назван в честь немецкого математика Йохана Фридриха Пфаффа (Johann Friedrich Pfaff).

Литература Править

Викия-сеть

Случайная вики