Викия

Математика

Псевдоевклидово пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Псевдоевклидово пространство — конечномерное вещественное пространство с невырожденной индефинитной метрикой.

Запись расстояния в ортонормированном репере и сигнатура Править

Выбором репера всегда можно добиться того, чтобы расстояние между точками n-мерного псевдоевклидова пространства с координатами (x_1,\ldots,x_n) и (y_1,\ldots,y_n) записывалось в виде


d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots +(x_m-y_m)^2-(x_{m+1}-y_{m+1})^2-\ldots-(x_n-y_n)^2}.

Реперы (а также отвечающие им базисы) с таким свойством называются ортонормированными. Такое пространство обычно обозначается \R^{n,n-m}. Пара чисел (m,n-m) (задающая количество базисных векторов вещественной и чисто мнимой длины, соответственно) не зависит от выбора ортонормированного базиса и называется сигнатурой псевдоевклидова пространства. Псевдоевклидовы пространства с различными сигнатурами неизометричны друг другу. Однако пространство с сигнатурой (m,n-m) может быть превращено в пространство с сигнатурой (n-m,m) заменой знака скалярного произведения, и потому различия между такими пространствами обычно не проводят: в частности, пространство Минковского в разных источниках определяется и как пространство сигнатуры (1,3), и как пространство сигнатуры (3,1). Таким образом, каждой размерности n отвечает \left[n/2\right] (где прямые скобки означают взятие целой части) различных n-мерных псевдоевклидовых пространств.

Изотропные направления Править

Особенностью пространств с индефинитной метрикой является наличие ненулевых векторов, имеющих нулевую длину. Такие векторы (а также прямые, направляющими векторами которых они являются) называются изотропными. В частности, псевдоевклидова плоскость обладает ровно двумя несовпадающими изотропными направлениями. Изотропные прямые псевдоевклидова пространства, проведённые через произвольно фиксированную точку, образуют конус с вершиной в этой точке.

Окружности и сферы Править

С точки зрения геометрии псевдоевклидовой плоскости, окружностями произвольного ненулевого (вещественного или чисто мнимого) радиуса являются гиперболы. Аналогично, в трёхмерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (2,1) сферами ненулевого вещественного радиуса являются однополостные гиперболоиды, а сферами ненулевого чисто мнимого радиуса — двуполостные гиперболоиды. Дабы подчеркнуть отличие таких гиперповерхностей от обычных евклидовых сфер (в частности, отсутствие компактности), их называют иногда псевдосферами.

По своим геометрическим свойствам каждая из двух «половин» псевдосферы мнимого радиуса в n+1-мерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (n,1) представляет собой n-мерное пространство Лобачевского.

Псевдоевклидово пространство в физике Править

Важнейшим частным случаем псевдоевклидова пространства является пространство Минковского, используемое в специальной теории относительности, в котором метрика сигнатуры (1,3) реализует релятивистский взгляд на измерение времени. Изотропные направления являются направлениями распространения света и называются также нулевыми или светоподобными.

Теоретическая физика рассматривает псевдоевклидовы пространства и иной размерности, однако как правило метрика в них имеет сигнатуру (1,n) то есть с одной временно́й координатой и n пространственными.


Литература Править

  • П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. Любое издание.

Викия-сеть

Случайная вики