Определение [ ] Для системы из
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
m
<=
n
{\displaystyle m<=n}
m
{\displaystyle m}
базисными , если определитель
составленный из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля.
Базисным решением системой уравнений называется такое решение при котором свободные переменные равны нулю.
Пример [ ]
R
3
{\displaystyle R^3\!\,}
{
2
x
1
+
x
2
+
4
x
3
=
1
x
1
+
3
x
2
−
2
x
3
=
−
1
{\displaystyle \left\{ \begin{matrix} 2x_1+x_2+4x_3=1 \\ x_1+3x_2-2x_3=-1 \end{matrix} \right.}
m
=
2
;
n
=
3
;
m
⩽
n
{\displaystyle m=2; n=3; m \leqslant n \!\,}
x
1
,
x
2
=
|
2
1
1
3
|
=
6
−
1
=
5
≠
0
{\displaystyle x_1, x_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5 \not= 0}
x
3
{\displaystyle x_3\!\,}
x
1
,
x
3
=
|
2
4
1
−
2
|
=
−
4
−
4
=
−
8
≠
0
{\displaystyle x_1, x_3 = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 4 = -8 \not= 0}
x
2
{\displaystyle x_2\!\,}
x
2
,
x
3
=
|
1
4
3
−
2
|
=
−
2
−
12
=
−
14
≠
0
{\displaystyle x_2, x_3 = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 12 = -14 \not= 0}
x
1
{\displaystyle x_1\!\,}
Общее решение системы [ ] х1,х2 -базисные, х3 -свободная.
2х1+х2 = 1-4х3
х1+3х2 = −1+2х3
х1 = |(1-4x3) 1|
|(-1+2x3)3| = 3-12x3+1-2x3
___________ ____________ = 4-14x3/5 = 4/5 - 14x3/5
|2 1| 5
|1 3|
x2 = |2 (1-4x3)|
|1(-1+2x3)|
___________ = -3/5 + 8x3/5
5
X = (4/5-14x3/5;-3/5+8x3/5)
