Викия

Математика

Прямое произведение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические...), существующие на перемножаемых множествах.

Прямое произведение в теории множеств Править

Произведение двух множеств Править

               
в в в в в в в в
и и и и и и и и
к к к к к к к к
Произведение множества {в,и,к}
на множество цветов радуги

Пусть даны два множества X\! и Y\!. Прямое произведение X\times Y множества X\! и множества Y\! есть такое множество X \times Y, элементами которого являются упорядоченные пары (x,\,y) для всевозможных x\in X и y\in Y.

Отображения произведения множеств в его множители (\phi: X\times Y\to X,\ \phi(x,y)=x и \psi: X\times Y\to Y,\ \psi(x,y)=y) называют координатными функциями.

Аналогично строятся произведения нескольких множеств.

Декартова степень Править

000001002010011012020021022
100101102110111112120121122
200201202210211212220221222
{0,1,2}3, 33 = 27 элементов

n\!-ая Декартова степень множества X\! определяется для целых неотрицательных n\!, как n\!-кратное Декартово произведение X\! на себя:


\begin{matrix}
X^n = & \underbrace{X\times X\times \ldots \times X} \\
& n
\end{matrix}
.

При положительных n\! Декартова степень X^n\! состоит из всех упорядоченных наборов (кортежей) элементов из X\! длины n\!.

При n=0\!, Декартова степень X^0\! по определению содержит единственный элемент - пустой кортеж.

Дальнейшие обобщения Править

Дальнейшее обобщение понятия прямого произведения приводит к произведениям по индексному множеству I (возможно, бесконечному): X = Π Xi, элементы которого сопоставляют каждому индексу i из I элемент множества Xi.

Воздействие на математические структуры Править

Прямое произведение групп Править

Прямое (декартово) произведение двух групп (G,*) и (H,\circ) — это группа из всех пар элементов (g,h) с операцией поэлементного умножения: (g_1,h_1)\times(g_2,h_2)\ =\ (g_1*g_2,h_1\circ h_2). Эта группа обозначается как G\times H. Сомножители G и H изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, \{(g,1_H)|g\in G\} и \{(1_G,h)|h\in H\} соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента (1_G,1_H), который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.

Однако, для бесконечного числа перемножаемых групп понятия декартового и прямого произведения принято различать. В общем случае, \overline{\prod_{i\in I}} G_i\ =\ \{f: I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}, где f(i)\isin G_i и (f_1\times f_2)(i)\ =\ f_1(i)*f_2(i). (Операция в правой части — это операция группы G_i.) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: (1_i), i\in I. Например, для счётного числа групп: \overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2\ =\ (2^\mathbb{N}, \operatorname{xor}), где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех f, носитель которых (т.е. множество supp(f) = \{i\in I| f(i)\ne 1_i\}) конечен, называется прямым произведением. Например, прямое произведение того же самого набора множеств \prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N}, \operatorname{xor}) содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Прямое произведение других алгебраических структур Править

Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1_i (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.

Прямое произведение топологических пространств Править

Пусть X\! и Y\! — два топологических пространства. Топология произведения X\times Y задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений U\times V, где U — открытое подмножество X\! и V — открытое подмножество Y\!.

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения X = Π Xi определение усложняется. Определим открытый цилиндр Cyl(i,U) = \{x\in X| x_i\in U\}, где i\in I и U — открытое подмножество Xi. Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова (а иные пространства и не рассматриваются).

Прямое произведение графов Править

  —
—
—

Множество вершин прямого произведения двух графов G и H задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

  • (g,h)(g',h), где g и g' — соединённые ребром вершины графа G, а h — произвольная вершина графа H;
  • (g,h)(g,h'), где g — произвольная вершина графа G, а h и h' — соединённые ребром вершины графа H.

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Прямое произведение отображений Править

Пусть f — отображение из A в B, а g — отображение из X в Y. Их прямым произведением f×g называется отображение из A×X в B×Y: (f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

См. также Править


be-x-old:Дэкартавы здабытак bg:Декартово произведение cs:Kartézský součineo:Cilindro (algebro)gd:Toradh Cartesach gl:Produto cartesiano he:מכפלה קרטזית hu:Descartes-szorzat is:Faldmengilmo:Cungjuunt prudüit lt:Dekarto sandauga nl:Cartesisch product nn:Kartesisk produkt no:Kartesisk produkt oc:Produch cartesian pl:Iloczyn kartezjański pms:Prodot cartesiansk:Karteziánsky súčin uk:Декартів добуток множин

Викия-сеть

Случайная вики