Пространство Lp

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Пространства (читается «эль-пэ») — это пространства измеримых функций таких, что их -я степень интегрируема, где . — важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Содержание 1 Построение пространства Lp 2 Полнота пространства Lp 3 Пространство L² 4 Пространство L∞ 5 Свойства пространств Lp 6 Пространства сопряжённые к Lp 7 Пространства lp, 1 ≤ p ≤ ∞

[править] Построение пространства L^p

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой . Фиксируем и рассмотрим множество измеримых функций, определенных на этом пространстве, таких что

.

Обозначим это множество или просто .

Теорема 1. Пространство линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если почти всюду, то , что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на отношение эквивалентности. Будем говорить, что , если п.в.

Это отношение разбивает пространство на непересекающиеся классы эквивалентности, причём:

• полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают;
• полунормы любых представителей разных классов различаются.

Тогда на построенном фактор-пространстве (то есть семействе классов эквивалентности) можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Фактор-пространство с построенной на нём нормой называется пространством или просто .

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

[править] Полнота пространства L^p

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

,

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций . Тогда эта последовательность сходится к функции , если

при .

Теорема 2. Пространство полно, то есть любая фундаментальная последовательность в сходится к элементу этого же пространства. Таким образом — банахово пространство.

[править] Пространство L²

В случае введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, таких как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве скалярное произведение следующим образом:

,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные или

,

если они вещественные. Тогда, очевидно,

,

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого , заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство гильбертово.

[править] Пространство L^∞

Рассмотрим пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

,

мы получаем полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же назывется и сходимость, порождённая такой метрикой:

в , если при .

[править] Свойства пространств L^p

• Сходимость функций почти всюду влечёт сходимость в пространстве . Пусть , и п.в. Тогда при . Обратное, вообще говоря, неверно.
• Если при , то существует подпоследовательность , такая что п.в.
• функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть — подмножество , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда всюду плотно в .
• — сепарабельно.
• Если — конечная мера, например, вероятность, и , то . В частности, , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

[править] Пространства сопряжённые к L^p

Пусть есть пространство сопряжённое к (т.н. ко-пространство). По определению, элемент является линейным функционалом на .

Теорема 4. Если , то изоморфно (пишем ), где . Любой линейный функционал на имеет вид:

,

где .

В силу симметрии уравнения , само пространство дуально (с точностью до изоморфизма) к , а следовательно:

.

Этот результат справедлив и для случая , то есть . Однако, и, в частности, .

[править] Пространства l^p, 1 ≤ p ≤ ∞

Пусть , где — счётная мера на , то есть . Тогда если , то пространство представляет собой семейство последовательностей , таких что

.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

.

Получившееся нормированное пространство обозначается .

Если , то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

.

Получившееся пространство называется . Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив , мы получаем гильбертово пространство , чья норма порождена скалярным произведением

,

если последовательности комплекснозначные, и

,

если они вещественны.

Пространство, дуальное к , где изоморфно , .

Эта статья содержит материал из статьи Пространство Lp русской Википедии.