ФЭНДОМ


Пространства $ L^p $ (читается «эль-пэ») — это пространства измеримых функций таких, что их $ p $-я степень интегрируема, где $ p \ge 1 $. $ L^p $ — важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, $ L^2 $ (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение пространства Lp Править

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой $ (X,\mathcal{F},\mu) $. Фиксируем $ 1 \leq p < \infty $ и рассмотрим множество измеримых функций, определенных на этом пространстве, таких что

$ \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty $.

Обозначим это множество $ \mathcal{L}^p(X,\mathcal{F},\mu) $ или просто $ \mathcal{L}^p $.

Теорема 1. Пространство $ \mathcal{L}^p(X,\mathcal{F},\mu) $ линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

$ \|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}} $.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если $ f(x) = 0 $ почти всюду, то $ \|f\|_p = 0 $, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на $ \mathcal{L}^p $ отношение эквивалентности. Будем говорить, что $ f \sim g $, если $ f(x) = g(x) $ п.в.

Это отношение разбивает пространство $ \mathcal{L}^p $ на непересекающиеся классы эквивалентности, причём:

  • полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают;
  • полунормы любых представителей разных классов различаются.

Тогда на построенном фактор-пространстве (то есть семействе классов эквивалентности) $ \mathcal{L}^p/\sim $ можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Фактор-пространство $ \left(\mathcal{L}^p/\sim, \|\cdot\|_p\right) $ с построенной на нём нормой называется пространством $ L^p(X,\mathcal{F},\mu) $ или просто $ L^p $.

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами $ L^p $ называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

Полнота пространства Lp Править

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

$ d(f,g) = \|f-g\|_p $,

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p $. Тогда эта последовательность сходится к функции $ f\in L^p $, если

$ \|f_n-f\|_p \to 0 $ при $ n \to \infty $.

Теорема 2. Пространство $ L^p $ полно, то есть любая фундаментальная последовательность в $ L^p $ сходится к элементу этого же пространства. Таким образом $ L^p $банахово пространство.

Пространство L² Править

В случае $ p=2 $ введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, таких как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве $ L^2 $ скалярное произведение следующим образом:

$ \langle f,g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx) $,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные или

$ \langle f,g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx) $,

если они вещественные. Тогда, очевидно,

$ \|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} $,

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого $ L^p $, заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство $ L^2 $ гильбертово.

Пространство L Править

Рассмотрим пространство $ \mathcal{L}^{\infty}(X,\mathcal{F},\mu) $ измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

$ \|f\|_{\infty} = \mathrm{ess } \sup\limits_{x\in X} |f(x)| $,

мы получаем полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же назывется и сходимость, порождённая такой метрикой:

$ f_n \to f $ в $ L^{\infty} $, если $ \mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0 $ при $ n \to \infty $.

Свойства пространств Lp Править

  • Сходимость функций почти всюду влечёт сходимость в пространстве $ L^p $. Пусть $ f_n,f\in L^p $, и $ f_n \to f $ п.в. Тогда $ \|f_n-f\|_p \to 0 $ при $ n \to \infty $. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если $ \|f_n-f\|_p \to 0 $ при $ n\to \infty $, то существует подпоследовательность $ f_{n_k} $, такая что $ f_{n_k} \to f $ п.в.
  • $ L^p $ функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть $ L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m) $ — подмножество $ L^p(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m) $, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда $ L^p_{C^{\infty}} $ всюду плотно в $ L^p $.
  • $ L^p(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m) $сепарабельно.
  • Если $ \mu $ — конечная мера, например, вероятность, и $ 1 \leq p \leq q \leq \infty $, то $ L^q \subset L^p $. В частности, $ L^2 \subset L^1 $, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Пространства сопряжённые к Lp Править

Пусть $ \left(L^p\right)^{\star} $ есть пространство сопряжённое к $ L^p $ (т.н. ко-пространство). По определению, элемент $ g \in \left(L^p\right)^{\star} $ является линейным функционалом на $ L^p $.

Теорема 4. Если $ 1 < p < \infty $, то $ \left(L^p\right)^{\star} $ изоморфно $ L^q $ (пишем $ \left(L^p\right)^{\star} \cong L^q $), где $ 1/p+1/q=1 $. Любой линейный функционал на $ L^p $ имеет вид:

$ g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx) $,

где $ \tilde{g}(x)\in L^q $.

В силу симметрии уравнения $ 1/p+1/q=1 $, само пространство $ L^p $ дуально (с точностью до изоморфизма) к $ L^q $, а следовательно:

$ \left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p $.

Этот результат справедлив и для случая $ p=1 $, то есть $ \left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty} $. Однако, $ \left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1 $ и, в частности, $ \left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1 $.

Пространства lp, 1 ≤ p ≤ ∞ Править

Пусть $ (X,\mathcal{F},\mu) = \left(\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}}, m\right) $, где $ m $счётная мера на $ \mathbb{N} $, то есть $ m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N} $. Тогда если $ p<\infty $, то пространство $ L^p\left(\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}}, m\right) $ представляет собой семейство последовательностей $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $, таких что

$ \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty $.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

$ \|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x|^p\right)^{\frac{1}{p}} $.

Получившееся нормированное пространство обозначается $ l^p $.

Если $ p=\infty $, то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

$ \|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n| $.

Получившееся пространство называется $ l^{\infty} $. Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив $ p=2 $, мы получаем гильбертово пространство $ l^2 $, чья норма порождена скалярным произведением

$ \langle x,y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n} $,

если последовательности комплекснозначные, и

$ \langle x,y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n} $,

если они вещественны.

Пространство, дуальное к $ l^p $, где $ 1 \leq p < \infty $ изоморфно $ l^q $, $ 1/p+1/q=1 $.

Эта статья содержит материал из статьи Пространство Lp русской Википедии.