Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке функции (обычно обозначается ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, т. к. сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.
Свойства[]
- Если последовательность элементов из сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции , то при .
- Отсюда: — банахово пространство.
- Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
- В не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.
Вариации и обобщения[]
Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:
В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность
Его пополнение есть —пространство суммируемых функций.
Литература[]
- А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. «Элементы теории функций и функционального анализа», М.: Наука, 2004.
- Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. «Элементы функционального анализа», М.: Наука, 1965.
- M. Reed, B. Simon. «Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis», Academic Press New York London, 1973.
- К. Иосида. «Функциональный анализ», Мир: Москва, 1967.
Шаблон:Noiwiki