Викия

Математика

Простой идеал

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В коммутативном кольце A идеал I называется простым, если факторкольцо по нему A / I является областью целостности. Равносильная формулировка: если I \neq A и из ab\in I следует a\in I или b\in I.

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца A по простому идеалу I.

Множество всех простых идеалов кольца A образует спектр кольца \mathrm{Spec} A. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

СвойстваПравить

  • Максимальный идеал I кольца A (т.е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.
    • Пусть ab\in I, a \notin I. Рассмотрим идеал J=I+aA. Поскольку I максимален, то либо J=I (что невозможно, поскольку a \notin I), либо J=A. Но тогда 1 \in I+aA и значит b \in bI+baA=I.
  • Идеал I прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
  • Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце A с единицей задан идеал I, не пересекающийся с мультипликативной системой S_0. Тогда существует простой идеал I_0, содержащий I и не пересекающийся с системой S_0.
  • Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал I, совпадает с радикалом идеала I. Радикал идеала I — это множество \sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in I\}. Оно тоже является идеалом кольца A.
    • Пусть J — простой идеал, содержащий I. Если элемент f принадлежит радикалу \sqrt{I}, значит некоторая его степень принадлежит идеалу I\subset J, значит f не может принадлежать дополнению к J, так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит f, то содержит и все его степени). Значит f необходимо принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал I.
      Обратно: пусть f не принадлежит радикалу \sqrt{I}. Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с I. По предыдущей теореме существует простой идеал, содержащий I и не содержащий ни одну из степеней элемента f. Значит f не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал I.

ПримерыПравить

  • В кольце целых чисел A=\mathbb{Z} каждый простой идеал имеет вид pA, где p — простое число.
    • Пусть a \in I — наименьшее положительное число в I. Возьмем произвольное b \in I и поделим с остатком на a : \qquad b = a*g + r, где 0 \leq r<a. В силу выбора a, имеем r = 0, т.е. все элементы I делятся на a. I = a\mathbb{Z}. Положим, теперь, I = pA. Поскольку из ab\in pA должно следовать a\in pA или b\in pA, то p — простое число.
  • В кольце многочленов от одной переменной A=\mathbb{R}[x] каждый простой идеал имеет вид pA, где p — неприводимый над \mathbb{R} многочлен.
  • В кольце многочленов A=\mathbb{Q}[x,y] множество I=xA+yA является простым идеалом.
    • Любой элемент a\in \mathbb{Q}[x,y] можно представить в виде a=a_0+a_1x+a_2y, где a_1,a_2\in \mathbb{Q}[x,y] — некоторые многочлены, a_0\in \mathbb{Q} определено однозначно элементом a. Условие ab\in I равносильно тогда условию a_0b_0=0, откуда следует либо a_0=0, либо b_0=0.

ИсточникиПравить

Викия-сеть

Случайная вики