Проста́я фу́нкция в математике — это измеримая функция , заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.
Определение [ ] Пусть
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
n
∈
N
{\displaystyle n \in \N}
f
:
X
→
R
(
C
)
{\displaystyle f:X\to \mathbb{R}(\mathbb{C})}
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
1
A
i
(
x
)
,
x
∈
X
{\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x),\; x\in X}
где
a
i
∈
R
(
C
)
,
1
A
i
{\displaystyle a_i\in \mathbb{R} (\mathbb{C}),\; \mathbf{1}_{A_i}}
индикатор множества .
Замечания [ ] Если
(
X
,
F
)
≡
(
Ω
,
F
)
{\displaystyle (X,\mathcal{F}) \equiv (\Omega, \mathcal{F})}
вероятностное пространство , то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й .
Если
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
пространство с мерой ,
f
:
X
→
R
{\displaystyle f: X \to \R}
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
1
A
i
(
x
)
,
x
∈
X
{\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x),\; x\in X}
и
μ
(
A
i
)
<
∞
,
∀
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \mu(A_i) < \infty,\; \forall i = 1,\ldots, n}
f
{\displaystyle f}
интегрируема по Лебегу , и
∫
X
f
d
μ
=
∑
i
=
1
n
a
i
μ
(
A
i
)
{\displaystyle \int\limits_X f\, d\mu = \sum\limits_{i=1}^n a_i\, \mu(A_i)}
Пример [ ] Пусть
(
X
,
F
,
μ
)
=
(
R
,
B
(
R
)
,
m
)
{\displaystyle (X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)}
борелевская сигма-алгебра на
R
{\displaystyle \R}
m
{\displaystyle m}
мера Лебега . Тогда функция
f
(
x
)
=
{
1
,
x
>
0
0
,
x
=
0
−
1
,
x
<
0
,
x
∈
R
{\displaystyle f(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x > 0\\
0, & x = 0\\
-1, & x < 0
\end{matrix}
\right.,\; x\in \mathbb{R}}
простая, ибо измерима и принимает три разных значения.
he:פונקציה פשוטה
pl:Funkcja prosta
