Производящая функция моментов

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Содержание 1 Определение 2 Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины 3 Cвойства производящих функций моментов 4 Вычисление моментов 5 См. также

[править] Определение

Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).

[править] Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина дискретна, то есть , то

.

Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда

.

Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

.

[править] Cвойства производящих функций моментов

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

• Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт сопадение функций вероятности.
• Производящая функция моментов как функция случайно величины однородна:

.

• Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда

.

[править] Вычисление моментов

.

[править] См. также

• Моменты случайной величины;
• Характеристическая функция случайной величины.he:פונקציה יוצרת מומנטיםnl:Momentgenererende functie

pl:Funkcja tworząca momenty su:Fungsi nu ngahasilkeun momen zh:动差生成函数