ФЭНДОМ


Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение Править

Пусть есть случайная величина $ X $ с распределением $ \mathbb{P}^X $. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид

$ M_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{tX}\right] $.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

$ M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx) $,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины Править

Если случайная величина $ X $ дискретна, то есть $ \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots $, то

$ M_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{tx_i}\, p_i $.

Пример. Пусть $ X $ имеет распределение Бернулли. Тогда

$ M_X(t) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot q = p e^{t} + q $.

Если случайная величина $ X $ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность $ f_X(x) $, то

$ M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, f_X(x)\, dx $.

Пример. Пусть $ X \sim U[0,1] $ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

$ M_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{tx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{tx}}{t}\right\vert_0^1 = \frac{e^{t}-1}{t} $.

Cвойства производящих функций моментов Править

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

  • Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть $ X,Y $ суть две случайные величины, и $ M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t $. Тогда $ \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y $. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт сопадение функций вероятности.
  • Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
$ M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R} $.
  • Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть $ X_1,\ldots, X_n $ суть независимые случайные величины. Обозначим $ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i $. Тогда
$ M_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n M_{X_i}(t) $.

Вычисление моментов Править

$ \mathbb{E}\left[X^n\right] = \left. \frac{d^n}{dt^n}M_X(t)\right\vert_{t=0} $.

См. также Править

pl:Funkcja tworząca momenty su:Fungsi nu ngahasilkeun momen