Викия

Математика

Производящая функция моментов

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение Править

Пусть есть случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид

M_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{tX}\right].

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx),

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины Править

Если случайная величина X дискретна, то есть \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots, то

M_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{tx_i}\, p_i.

Пример. Пусть X имеет распределение Бернулли. Тогда

M_X(t) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot q = p e^{t} + q.

Если случайная величина X абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность f_X(x), то

M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, f_X(x)\, dx.

Пример. Пусть X \sim U[0,1] имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

M_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{tx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{tx}}{t}\right\vert_0^1 = \frac{e^{t}-1}{t}.

Cвойства производящих функций моментов Править

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

  • Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть X,Y суть две случайные величины, и M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t. Тогда \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт сопадение функций вероятности.
  • Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}.
  • Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть X_1,\ldots, X_n суть независимые случайные величины. Обозначим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда
M_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n M_{X_i}(t).

Вычисление моментов Править

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \left. \frac{d^n}{dt^n}M_X(t)\right\vert_{t=0}.

См. также Править

pl:Funkcja tworząca momenty su:Fungsi nu ngahasilkeun momen

Викия-сеть

Случайная вики