Викия

Математика

Производная функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производная (геом).jpg

Производная как тангенс угла a и отношение приращения функции к приращению аргумента

Определение Править

  1. Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \mathbb{R} определена функция f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Производной функции f в точке x_0 называется предел, если он существует,
\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.
  • Производная функции в точке x_0 обозначается символами
f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).

Дифференцируемость Править

См. также основную статью: Дифференцируемая функция

Производная f'(x_0) функции f в точке x_0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x_0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

\bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) < \infty\bigr).

Для дифференцируемой в x_0 функции f в окрестности U(x_0) справедливо представление

f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) при

Замечания Править

  • Назовём \Delta x = x - x_0 приращением аргумента функции, а \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) приращением значения функции в точке x_0. Тогда
    f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.
  • Пусть функция f:(a,b) \to \mathbb{R} имеет конечную производную в каждой точке x_0 \in (a,b). Тогда определена произво́дная фу́нкция
    f':(a,b) \to \mathbb{R}.
  • Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
  • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).

Геометрический и физический смысл производной Править

Тангенс угла наклона касательной прямой Править

См. также основную статью: Касательная прямая

Если функция f:U(x_0) \to \mathbb{R} имеет конечную производную в точкеx_0, то в окрестности U(x_0) её можно приблизить линейной функцией

f_l(x) = f_(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).

Функция f_l называется касательной к f в точке x_0. Число f'(x_0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции Править

Пусть s=s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t_0)=s'(t_0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t_0. Вторая производная a(t_0) = s''(t_0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t_0.

Вообще производная функции y=f(x) в точке x_0 выражает скорость изменения функции в точке x_0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y=f(x).

Производные высших порядков Править

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).

Если функция f дифференцируема в x_0, то производная первого порядка определяется соотношением

f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).

Пусть теперь производная n-го порядка f^{(n)} определена в некоторой окрестности точки x_0 и дифференцируема. Тогда

f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).

Производные высших порядков обозначаются символами:

f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.

Когда n мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),\; f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),\;  f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x), etc.

Примеры Править

  • Пусть f(x) = x^2. Тогда
f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.
  • Пусть f(x) = |x|. Тогда если x_0 \neq 0, то
f'(x_0) = \operatorname{sgn} x_0,

где \operatorname{sgn} обозначает функцию знака. Если x_0 = 0, то f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, а следовательно f'(x_0) не существует.

См. также Править

Литература Править


Эта статья содержит материал из статьи Производная функции русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики