Wikia

Математика

Производная функции

Обсуждение0
1418статей на этой вики

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производная (геом)

Производная как тангенс угла a и отношение приращения функции к приращению аргумента

Определение Править

  1. Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \mathbb{R} определена функция f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Производной функции f в точке x_0 называется предел, если он существует,
\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.
  • Производная функции в точке x_0 обозначается символами
f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).

Дифференцируемость Править

См. также основную статью: Дифференцируемая функция

Производная f'(x_0) функции f в точке x_0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x_0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

\bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) < \infty\bigr).

Для дифференцируемой в x_0 функции f в окрестности U(x_0) справедливо представление

f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) при

Замечания Править

  • Назовём \Delta x = x - x_0 приращением аргумента функции, а \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) приращением значения функции в точке x_0. Тогда
    f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.
  • Пусть функция f:(a,b) \to \mathbb{R} имеет конечную производную в каждой точке x_0 \in (a,b). Тогда определена произво́дная фу́нкция
    f':(a,b) \to \mathbb{R}.
  • Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
  • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).

Геометрический и физический смысл производной Править

Тангенс угла наклона касательной прямой Править

См. также основную статью: Касательная прямая

Если функция f:U(x_0) \to \mathbb{R} имеет конечную производную в точкеx_0, то в окрестности U(x_0) её можно приблизить линейной функцией

f_l(x) = f_(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).

Функция f_l называется касательной к f в точке x_0. Число f'(x_0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции Править

Пусть s=s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t_0)=s'(t_0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t_0. Вторая производная a(t_0) = s''(t_0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t_0.

Вообще производная функции y=f(x) в точке x_0 выражает скорость изменения функции в точке x_0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y=f(x).

Производные высших порядков Править

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).

Если функция f дифференцируема в x_0, то производная первого порядка определяется соотношением

f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).

Пусть теперь производная n-го порядка f^{(n)} определена в некоторой окрестности точки x_0 и дифференцируема. Тогда

f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).

Производные высших порядков обозначаются символами:

f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.

Когда n мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),\; f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),\;  f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x), etc.

Примеры Править

  • Пусть f(x) = x^2. Тогда
f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.
  • Пусть f(x) = |x|. Тогда если x_0 \neq 0, то
f'(x_0) = \operatorname{sgn} x_0,

где \operatorname{sgn} обозначает функцию знака. Если x_0 = 0, то f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, а следовательно f'(x_0) не существует.

См. также Править

Литература Править


Эта статья содержит материал из статьи Производная функции русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики