Викия

Математика

Произведение мер

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение Править

Пусть (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2 - два пространства с мерами. Тогда X_1 \times X_2 - декартово произведение множеств X_1 и X_2.

\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 является семейством подмножеств X_1 \times X_2. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является σ-алгеброй. Введём обозначение

\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 = \sigma \left(\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2\right)

- минимальная σ-алгебра, содержащая \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2. Тогда (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2) - измеримое пространство. Определим на нём меру \mu_1 \otimes \mu_2 : \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \to \mathbb{R} следующим образом:

\mu_1 \otimes \mu_2 (A) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_2(A_2),\quad \forall A = A_1 \times A_2 \in \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2.

Тогда \mu_1 \otimes \mu_2 продолжается единственным образом с \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 на \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2:

\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_2} \mu_1(A_{x_2})\, \mu_2(dx_2),\quad A \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2

или

\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_1} \mu_2(A_{x_1})\, \mu_1(dx_1),

где

A_{x_2} = \{x_1 \in X_1 \mid (x_1,x_2) \in A )\} - сечение A вдоль x_2 \in X_2, а
A_{x_1} = \{x_2 \in X_2 \mid (x_1,x_2) \in A )\} - сечение A вдоль x_1 \in X_1.

Получившаяся мера \mu_1 \otimes \mu_2 называется произведением мер \mu_1 и \mu_2. Пространство с мерой (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) называется (прямым) произведением исходных пространств.

ЗамечанияПравить

\mathbb{P}^{X,Y} = \mathbb{P}^X \otimes \mathbb{P}^Y.

ПримерПравить

Мера Лебега m_n на \mathbb{R}^n может быть получена как произведение n одномерных мер Лебега m_1 на \mathbb{R}:

\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \bigotimes\limits_{i=1}^n \mathcal{B}(\mathbb{R}),

где \mathcal{B}(X) обозначает борелевскую σ-алгебру на пространстве X, и

m_n = \bigotimes\limits_{i=1}^n m_1.

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики