ФЭНДОМ


Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение Править

Пусть $ (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2 $ - два пространства с мерами. Тогда $ X_1 \times X_2 $ - декартово произведение множеств $ X_1 $ и $ X_2 $.

$ \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 $ является семейством подмножеств $ X_1 \times X_2 $. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является σ-алгеброй. Введём обозначение

$ \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 = \sigma \left(\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2\right) $

- минимальная σ-алгебра, содержащая $ \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 $. Тогда $ (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2) $ - измеримое пространство. Определим на нём меру $ \mu_1 \otimes \mu_2 : \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \to \mathbb{R} $ следующим образом:

$ \mu_1 \otimes \mu_2 (A) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_2(A_2),\quad \forall A = A_1 \times A_2 \in \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 $.

Тогда $ \mu_1 \otimes \mu_2 $ продолжается единственным образом с $ \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 $ на $ \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 $:

$ \mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_2} \mu_1(A_{x_2})\, \mu_2(dx_2),\quad A \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 $

или

$ \mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_1} \mu_2(A_{x_1})\, \mu_1(dx_1) $,

где

$ A_{x_2} = \{x_1 \in X_1 \mid (x_1,x_2) \in A )\} $ - сечение $ A $ вдоль $ x_2 \in X_2 $, а
$ A_{x_1} = \{x_2 \in X_2 \mid (x_1,x_2) \in A )\} $ - сечение $ A $ вдоль $ x_1 \in X_1 $.

Получившаяся мера $ \mu_1 \otimes \mu_2 $ называется произведением мер $ \mu_1 $ и $ \mu_2 $. Пространство с мерой $ (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) $ называется (прямым) произведением исходных пространств.

ЗамечанияПравить

  • Если $ (\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\; i=1,2 $ - два вероятностных пространства, то $ (\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2) $ называется их произведением.
  • Если $ X,Y:\Omega \to \mathbb{R} $ - случайные величины, то $ \mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y $ - распределения на $ \mathbb{R} $ $ X $ и $ Y $ соответственно, а $ \mathbb{P}^{X,Y} $ - распределение на $ \mathbb{R}^2 $ случайного вектора $ (X,Y)^{\top} $. Если $ X,Y $ - независимы, то
$ \mathbb{P}^{X,Y} = \mathbb{P}^X \otimes \mathbb{P}^Y $.

ПримерПравить

Мера Лебега $ m_n $ на $ \mathbb{R}^n $ может быть получена как произведение $ n $ одномерных мер Лебега $ m_1 $ на $ \mathbb{R} $:

$ \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \bigotimes\limits_{i=1}^n \mathcal{B}(\mathbb{R}) $,

где $ \mathcal{B}(X) $ обозначает борелевскую σ-алгебру на пространстве $ X $, и

$ m_n = \bigotimes\limits_{i=1}^n m_1 $.

См. также Править