Викия

Математика

Проективный предел

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Проективный (или обратный) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Эта конструкция позволяет по строить новый объект X по последовательности однотипных объектов X_i и набору отображений \phi_{i,j}:X_i\to X_j, i\le j. Для проективного предела обычно используется обозначение

X=\varprojlim X_i

ОпределениеПравить

Пусть I — множество, снабжённое отношением предпорядка \le (например множество целых чисел), и каждому элементу i\in I сопоставлено множество X_i, а каждой паре (i,j), i,j\in I, в которой i\le j, сопоставлено отображение \phi_{i,j}:X_i\to X_j причем \phi_{i,i}тождественные отображения и \phi_{i,k}=\phi_{j,k}\circ\phi_{i,j}. Множество X назывется проективным пределом семейства множеств X_i и отображений \phi_{i,j}, или X=\varprojlim X_i, если выполнены следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений \pi_i:X\to X_i, что \pi_j=\phi_{i,j}\circ\pi_i для любой пары i\le j;
  2. для любого семейства отображений \sigma_i:Y\to X_i, произвольного множества Y, для которого выполнены равенства \sigma_j=\phi_{i,j}\circ\sigma_i для любой пары i\le j, существует такое однозначно определенное отображение \sigma:Y\to X, что \sigma_i=\pi_i\circ\sigma, для всех i\in I.

Конструктивно проективный предел можно описать как подмножество в прямом произведении \Pi_{i\in I} X_i

\varprojlim X_i = \Big\{(x_i) \in \prod_{i\in I}X_i \;\Big|\; x_j = \phi_{ij}(x_i) \forall  i \le j\Big\}

Если все X_i снабжены дополнительной однотипной структурой, которая переносится на \Pi_{i\in I} X_i, то при естественных предположения на отображения \phi_{i,j}:X_i\to X_j, эта же структура индуцируется и в проективном пределе. Поэтому можно говорить о проективных пределах групп, модулей, топологических пространств и т.д.

ПримерыПравить

  • Целые p-адические числа являются проективным пределом последовательности \Z_{p^n} с естественными отображениями \Z_{p^n}\to\Z_{p^m}, при n\ge m
  • Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств с проекциями на первые координаты как отображения.

Вариации и обобщенияПравить

Естественным обобщением понятия проективного предела является понятие проективного предела функтора.

Викия-сеть

Случайная вики