ФЭНДОМ


Что значит "доказать" эту гипотезу? Достаточно ли будет для такого доказательства указать алгоритм или формулу,согласно которым любое четное и/или нечетное число представимо как суперпозиция двух или трёх простых чисел? Если да,то оба варианта проблемы можно доказать в несколько строк. Жду ответа от математиков!

История Править

В 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Каждое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется слабой проблемой Гольдбаха, второе — сильной проблемой Гольдбаха (или проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера).

Из справедливости утверждения сильной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость слабой проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число > 4 есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа > 7.

Слабая проблема Гольдбаха Править

Слабая проблема Гольдбаха формулируется так:

Каждое нечётное число больше 7 можно представить в виде суммы трёх нечётных простых.

Эквивалентная формулировка:

Каждое нечётное число больше 5 можно представить в виде суммы трёх простых.

(Каждое простое число может встречаться больше одного раза).

Утверждение этой проблемы пока не доказано, хотя проведено много полезных попыток Слабая проблема Гольдбаха была доказана в 2013 году перуанским математиком Харальдом Гельфготтом. В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана, проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году, Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, т. е. доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент К. Бороздкин доказал, что оно не превышает $ 3^{3^{15}} $. Это число содержит 6 миллионов цифр, что делает невозможным прямую проверку всех меньших чисел. В дальнейшем этот результат многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю грань до $ e^{e^{11,503}} \approx 3,33\cdot 10^{43000} $, что тем не менее по-прежнему вне пределов явной проверки меньших чисел.

В 1997 году Deshouillers, Effinger, Te Riele (?) и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел превышающих $ 10^{20} $, справедливость утверждения для меньших чисел легко проверить на компьютере.

Сильная проблема Гольдбаха Править

Сильная проблема Гольдбаха формулируется так:

Любое чётное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Сильная проблема Гольдбаха далека от решения.

Виноградов в 1937 и Теодор Эстерманн в 1938 г. показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 Хьюгом Монтгомери (Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воганом (Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает $ CN^{1-c} $.

В 1939, Шнирельман доказал, что любое чётное число представимо в виде суммы не более 300 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался. В 1995 Ремер (Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более 7 простых чисел.

В 1966 Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, $ 100 = 23 + 7 \cdot 11 $.

На март 2004 года, сильная гипотеза Гольдбаха проверена для всех чётных чисел, не превышающих $ 2 \times 10^{17} $.

Литература Править

  • А. Доксиадис, «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха», Пер. с англ. М. Левина. - М.: АСТ, 2002.
  • С.Петров, «Абсолютное программирование. Рекурсия» - пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.

Дорогие друзья!

Проблема Гольдбаха-Эйлера практически решена. Подскажите, как опубликовать доказательство, чтобы другие не присвоили результат. Ведь у нас Россия!!!