Викия

Математика

Признак сходимости Д’Аламбера

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Признак Д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов:

Если для числового ряда

\sum_{n=0}^\infty a_n

существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \ge 1,

то ряд расходится. Признак сходимости Д’Аламбера/рамка

В частности, если существует предел

\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если \rho < 1, а если \rho > 1 — расходится (признак сходимости Д’Аламбера в предельной форме).

ПримерыПравить

1. Ряд

абсолютно сходится для всех комплексных z, так как

\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right|
        = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,

2. Ряд

\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n

расходится при всех z\not=0, так как

\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right|
        = \lim |(n+1)z| = \infty.

3. Если \rho = 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

\sum_{n=0}^\infty \frac 1 n     и     \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n^2}

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

История Править

Признак установлен Жаном Д’Аламбером в 1768 г.ca:Criteri d'Alembert

Викия-сеть

Случайная вики