Викия

Математика

Признак Дирихле

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типаПравить

Определение (ряд Абелева типа)Править

Ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n, где |B_n|=\left | \sum_{k=1}^{n}b_k \right | \le M \quad \forall n \in \mathbb{N}\ и последовательность  \left \{ a_n \right \} — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)Править

Пусть выполнены условия:

Тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n сходится. Признак Дирихле/рамка

  • Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • Легко убедится, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
    \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}c_n, c_n>0, c_{n+1} \le c_n \quad \forall n \in \mathbb{N} , \lim_{n \to \infty}c_n=0;
    b_n=(-1)^{n+1} \Rightarrow |B_n|= \left | \sum_{k=1}^{n}(-1)^{n+1} \right | \le 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
  • Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: |r_n| = \left | \sum_{k=n+1}^{\infty}a_kb_k \right | \le 2Ma_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N}.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого родаПравить

Пусть выполнены условия:

Тогда \int_{a}^{+ \infty}f(x)g(x)dx сходится. Признак Дирихле/рамка

  • Очевидно, что вместо второго условия можно также записать g(x) \in C^{1}[a, + \infty], \quad g(x)<0, \quad g'(x) \ge 0 \quad \forall x>a
  • Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
    \int_{1}^{+ \infty}\frac{\sin x}{\sqrt x + \sin x}dx = \infty
    Однако, условие монотонности не является необходимым.
    \int_{2}^{+ \infty}\frac{\sin x}{x+2\sin x}dx \quad — сходится.
  • Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Викия-сеть

Случайная вики