Викия

Математика

Признак Дини

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Изолированная статья

Признак Дини (Шаблон:Lang-en) — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из L_2([-\pi,\pi]) сходится к ней в смысле L_2-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гельдера с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость все же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки \;t, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости.

Признак Дини Править

Положим для \;\delta>0

\omega_f(t,\delta):=\sup\limits_{s: |s-t|\leq \delta}|f(t)-f(s)|.

(модуль непрерывности функции \;f в точке \;t).

Если функция \;f\; удовлетворяет условию

\int_{0+} \frac{\omega_f(t,\delta)d\delta}{\delta} <+\infty,

то ее ряд Фурье в точке \;t\; сходится к \;f(t) .


Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

\omega_f(t,\delta)\leq C\left(\frac1{\log\frac1\delta}\right)^\gamma,

где \;\gamma>1 (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гельдера). Взять \;\gamma=1 нельзя.

Модифицированный признак Дини Править

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция \;f\; имеет разрыв в точке \;t, но, тем не менее, ее сужения на промежутки (t-\varepsilon,t) и  (t,t+\varepsilon) могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть f_+,\;f_- — некоторые числа. Положим для \delta>0

\omega^+_{f,f_+}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t,t+\delta)}|f(s)-f_+|,

\omega^-_{f,f_-}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t-\delta,t)}|f(s)-f_-|.

Если числа \;f_+, \;f_- и функция \;f таковы, что

\int_{0+} \frac{\omega^+_{f,f_+}(t,\delta)d\delta}{\delta} <+\infty,

\int_{0+} \frac{\omega^-_{f,f_-}(t,\delta)d\delta}{\delta} <+\infty,

то ряд Фурье функции \;f в точке \;t сходится к \frac{f_++f_-}2.

Признак Дини-Липшица (Dini-Lipschits test) Править

Если модуль непрерывности функции \;f в точке \;t удовлетворяет условию

\omega_f(t,\delta)=o(\frac1{\log\frac1\delta}),

то ряд Фурье функции \;f в точке \;t сходится к \;f(t)

Точность признаков Дини и Дини-Липшица Править

Если возрастающая неотрицательная функция \;\Omega такова, что

\int_{0+} \frac{\Omega(\delta)\,d\delta}{\delta} =+\infty,

то существует функция \;f, такая, что

\omega_f(t,\delta)\leq \Omega(\delta)

при всех достаточно маленьких \;\delta, и ряд Фурье функции \;f расходится в точке \;t.

Существует функция \;f с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

\omega_f(0,\delta)=O(\frac1{\log\frac1\delta}),

Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов Править

Рассмотрим периодическое продолжение функции \;x^2 с промежутка [\pi,\pi):

f(x):=\left(\pi\{\frac{x}{\pi}\}\right)^2,

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

f(x) \sim \frac{\pi^2}3+4\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx

Подставляя \;x=0 и \;x=\pi, и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства

\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}

и

\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.hu:Dini-féle konvergencia-kritérium

Викия-сеть

Случайная вики