Викия

Математика

Преобразование Фурье

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Преобразование Фурье —

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

Править

  • Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

Разновидности преобразования Фурье Править

Непрерывное преобразование Фурье Править

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f(t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами \omega и комплексными амплитудами F(\omega)=\mathcal{F}(f)(t). Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

F_1(\nu) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-2\pi i\nu\tau}\,d\tau,
F_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),
F_3(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),

где \omega=2\pi\nu.

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

Ряды Фурье Править

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области f(x) (с периодом 2\pi), и представляют эти функции как ряды синусоид:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx},

где F_n — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

где a_n и b_n — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

Дискретное преобразование Фурье Править

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции x_k, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет x_k как сумму синусоид:

x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{2\pi ijk/n} \quad \quad k = 0,\;\dots,\;n-1,

где f_j — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует \operatorname{O}(n^2) операций, этот расчет может быть сделан за \operatorname{O}(n\log n) операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

Оконное преобразование Фурье Править

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:

F(t,\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

где F(t,\;\omega) даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

Другие варианты Править

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором x_k определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

Интерпретация в терминах времени и частоты Править

В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где \omega — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (\omega), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

сссс

Литература Править

Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (также доступна в Сети: [1])

См. также Править

Ссылки Править

Шаблон:Интегральные преобразования Шаблон:Методы сжатия

ar:تحويل فوريي be-x-old:Пераўтварэньне Фур'е cs:Fourierova transformace da:Fouriertransformationeu:Fourierren transformaketa fa:تبدیل فوریهgl:Transformada de Fourier id:Transformasi Fourier is:Fourier–vörpunnl:Fouriertransformatie no:Fouriertransformasjon pl:Transformacja Fourierasimple:Fourier transformation sr:Фуријеова трансформација sv:Fourier-transform th:การแปลงฟูริเยร์vi:Biến đổi Fourier

Викия-сеть

Случайная вики