Преобразование Фурье
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.
Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.
Содержание |
[править] Применения преобразования Фурье
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:
- Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
- Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
- Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
- По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
- Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, Шаблон:Lang-en FFT).
[править] Разновидности преобразования Фурье
[править] Непрерывное преобразование Фурье
Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию 
как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами 
и комплексными амплитудами 
. Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.
-
,
-
,
-
,
где 
.
В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).
См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».
[править] Ряды Фурье
Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области 
(с периодом 
), и представляют эти функции как ряды синусоид:
-
,
где 
— комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:
-
,
где 
и 
— (действительные) амплитуды ряда Фурье.
[править] Дискретное преобразование Фурье
Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции 
, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет как сумму синусоид:
-
,
где 
— амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует 
операций, этот расчет может быть сделан за 
операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.
[править] Оконное преобразование Фурье
Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:
где 
даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала в окрестности времени 
.
[править] Другие варианты
Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.
Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.
[править] Интерпретация в терминах времени и частоты
В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.
Когда функция 
является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции 
представляет амплитуды соответствующих частот (), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.
Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.
[править] Таблица важных преобразований Фурье
Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье 
и 
обозначают фурье компоненты функций и 
, соответственно. и 
должны быть интегрируемыми функциями или обобщенными функциями.
Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как 
, зависит от соглашения какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения конечно правильны).
| Функция | Образ | Примечания | |
|---|---|---|---|
| 1 |  |  | Линейность |
| 2 |  |  | Запаздывание |
| 3 |  |  | Частотный сдвиг |
| 4 |  |  | Если  большое, то сосредоточена около 0 и  становится плоским
|
| 5 |  |  | Свойство преобразования Фурье от  -ой производной
|
| 6 |  |  | Это обращение правила 5 |
| 7 |  |  | Запись  означает свёртку  и  . Это правило — теорема о свёртке
|
| 8 |  |  | Это обращение 7 |
| 9 |  |  | означает дельта-функцию Дирака
|
| 10 |  |  | Обращение 9. |
| 11 |  |  | Здесь,  — натуральное число,  — -ая обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
|
| 12 |  |  | Следствие 3 и 10 |
| 13 |  |  | Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера 
|
| 14 |  |  | Также из 1 и 12 |
| 15 |  |  | Показывает, что функция Гаусса  совпадает со своим изображением
|
| 16 |  |  | Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и sinc функция её временной эквивалент |
| 17 | 
| WikiTeX: latex reported a failure, namely:This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) entering extended mode (./53da969870f6a623efd2e78b8edca LaTeX2e <2003/12/01> Babel | Здесь WikiTeX: latex reported a failure, namely:This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) entering extended mode (./b33f76ce5ae9054bd94e4c60e32bb LaTeX2e <2003/12/01> Babel— sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10 |
| 18 | 
| WikiTeX: latex reported a failure, namely:This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) entering extended mode (./5b727464770f95a1338977f05fec3 LaTeX2e <2003/12/01> Babel | Обобщение 17 |
| 19 | WikiTeX: latex reported a failure, namely:This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) entering extended mode (./4f035499956d40a4b38c38c52ca4b LaTeX2e <2003/12/01> Babel | 
| Обращение 17 |
| 20 | 
| 
| Здесь  — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19
|
[править] Литература
Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (также доступна в Сети: [1])
[править] См. также
[править] Ссылки
- Интегральные преобразования — EqWorld: Мир математических уравнений
- Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
Шаблон:Интегральные преобразования Шаблон:Методы сжатияar:تحويل فوريي be-x-old:Пераўтварэньне Фур'е cs:Fourierova transformace da:Fouriertransformationeu:Fourierren transformaketa fa:تبدیل فوریهgl:Transformada de Fourier id:Transformasi Fourier is:Fourier–vörpunja:フーリエ変換nl:Fouriertransformatie no:Fouriertransformasjon pl:Transformacja Fourierasimple:Fourier transformation sr:Фуријеова трансформација sv:Fourier-transform th:การแปลงฟูริเยร์vi:Biến đổi Fourier zh:傅里叶变换
