Преобразование Фурье —
Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.
[]
- Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
- Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
- Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
- По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
- Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, Шаблон:Lang-en FFT).
Разновидности преобразования Фурье[]
Непрерывное преобразование Фурье[]
Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами и комплексными амплитудами . Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.
- ,
- ,
- ,
где .
В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).
См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».
Ряды Фурье[]
Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области (с периодом ), и представляют эти функции как ряды синусоид:
- ,
где — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:
- ,
где и — (действительные) амплитуды ряда Фурье.
Дискретное преобразование Фурье[]
Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции , которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет как сумму синусоид:
- ,
где — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует операций, этот расчет может быть сделан за операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.
Оконное преобразование Фурье[]
Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:
где даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала в окрестности времени .
Другие варианты[]
Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.
Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.
Интерпретация в терминах времени и частоты[]
В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.
Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции представляет амплитуды соответствующих частот (), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.
Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.
сссс
Литература[]
Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (также доступна в Сети: [1])
См. также[]
- Численно-теоретические преобразования
- Преобразование Лапласа
- Ортогональные функции
- Вейвлет
- Чирплет
Ссылки[]
- Интегральные преобразования — EqWorld: Мир математических уравнений
- Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
Шаблон:Интегральные преобразования Шаблон:Методы сжатия
ar:تحويل فوريي be-x-old:Пераўтварэньне Фур'е cs:Fourierova transformace da:Fouriertransformation eu:Fourierren transformaketa fa:تبدیل فوریه gl:Transformada de Fourier id:Transformasi Fourier is:Fourier–vörpun nl:Fouriertransformatie no:Fouriertransformasjon pl:Transformacja Fouriera simple:Fourier transformation sr:Фуријеова трансформација sv:Fourier-transform th:การแปลงฟูริเยร์ vi:Biến đổi Fourier