Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа .
Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
имеет предел
A
{\displaystyle A}
в точке
x
0
{\displaystyle x_0}
если для всех значений
x
{\displaystyle x}
, достаточно близких к
x
0
{\displaystyle x_0}
, значение
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
близко к
A
{\displaystyle A}
.
Определения
(определение по Коши, ε−—определение) Пусть дана функция
f
:
M
⊂
R
→
R
{\displaystyle f:M \subset \R \to \R}
и
a
∈
M
′
{\displaystyle a\in M'}
— предельная точка множества
M
.
{\displaystyle M.}
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in\mathbb{R}}
называется пределом функции
f
{\displaystyle f}
при
x
,
{\displaystyle x,}
стремящемся к
a
{\displaystyle a}
(
x
→
a
)
{\displaystyle (x \to a)}
, если
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
∈
M
(
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
)
⇒
(
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
)
.
{\displaystyle \forall \varepsilon>0\; \exists \delta > 0\; \forall x \in M \quad (0<|x-a|<\delta ) \Rightarrow (|f(x) - A| < \varepsilon).}
(окрестностное определение) Пусть дана функция
f
:
M
⊂
R
→
R
{\displaystyle f:M \subset \R \to \R}
и
a
∈
M
′
{\displaystyle a\in M'}
— предельная точка множества
M
.
{\displaystyle M.}
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in\mathbb{R}}
называется пределом функции
f
{\displaystyle f}
при
x
,
{\displaystyle x,}
стремящемся к
a
{\displaystyle a}
(
x
→
a
)
{\displaystyle (x \to a)}
, если для любой окрестности
V
(
A
)
{\displaystyle V(A)}
точки
A
{\displaystyle A}
существует проколотая окрестность
U
˙
(
a
)
{\displaystyle \dot{U}(a)}
точки
a
{\displaystyle a}
такая, что
(
x
∈
U
˙
(
a
)
)
⇒
(
f
(
x
)
∈
V
(
A
)
)
.
{\displaystyle \left(x \in \dot{U}(a)\right) \Rightarrow (f(x) \in V(A)).}
(определение по Гейне) Пусть дана функция
f
:
M
⊂
R
→
R
{\displaystyle f:M \subset \R \to \R}
и
a
∈
M
′
{\displaystyle a\in M'}
— предельная точка множества
M
.
{\displaystyle M.}
Будем называть
{
ξ
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}}
последовательностью Гейне , если
∀
n
∈
N
ξ
n
∈
M
∖
{
a
}
,
{\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}\; \xi_n \in M \setminus \{a\},}
и
ξ
n
→
a
{\displaystyle \xi_n \to a}
при
n
→
∞
.
{\displaystyle n\to\infty.}
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in\mathbb{R}}
называется пределом функции
f
{\displaystyle f}
при
x
,
{\displaystyle x,}
стремящемся к
a
{\displaystyle a}
(
x
→
a
)
{\displaystyle (x \to a)}
тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем
f
(
ξ
n
)
→
A
{\displaystyle f(\xi_n) \to A}
при
n
→
∞
.
{\displaystyle n\to\infty.}
Замечания
Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.
Если предел функции
f
{\displaystyle f}
при
x
→
a
{\displaystyle x\to a}
существует и равен
A
{\displaystyle A}
, пишут
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
.
{\displaystyle \lim\limits_{x \to a} f(x) = A.}
Предел вдоль фильтра
Определение фильтра
См. также основную статью : Фильтр (математика)
Пусть дано множество
A
.
{\displaystyle A.}
Система множеств
B
{\displaystyle \mathfrak B}
называется фильтром на
A
{\displaystyle A}
, если
∀
B
∈
B
B
≠
∅
;
{\displaystyle \forall B\in \mathfrak{B}\; B \neq \emptyset;}
∀
B
1
,
B
2
∈
B
∃
B
3
∈
B
{\displaystyle \forall B_1,B_2 \in \mathfrak{B}\; \exists B_3\in \mathfrak{B}}
такой, что
B
3
⊂
B
1
∩
B
2
.
{\displaystyle B_3 \subset B_1 \cap B_2.}
Определение предела
Пусть
f
:
M
→
R
,
{\displaystyle f:M \to \mathbb{R},}
и
B
{\displaystyle \mathfrak B}
— фильтр на
M
.
{\displaystyle M.}
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in\mathbb{R}}
является пределом функции
f
{\displaystyle f}
по фильтру
B
,
{\displaystyle \mathfrak{B},}
если
∀
ε
>
0
∃
B
∈
B
(
x
∈
B
)
⇒
(
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
)
.
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \; \exists B \in \mathfrak{B}\quad (x \in B) \Rightarrow (|f(x)-A| < \varepsilon).}
Пишут:
lim
B
f
(
x
)
=
A
.
{\displaystyle \lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = A.}
Примеры
Обычный предел
Пусть дано топологическое пространство
(
X
,
T
)
{\displaystyle (X,\mathcal{T})}
, и
M
⊂
X
.
{\displaystyle M\subset X.}
Пусть
a
∈
M
′
.
{\displaystyle a \in M'.}
Тогда система множеств
B
=
{
U
˙
(
a
)
≡
U
(
a
)
∖
{
a
}
∣
a
∈
U
,
U
∈
T
}
{\displaystyle \mathfrak{B} = \left\{\dot{U}(a) \equiv U(a) \setminus\{a\} \mid a \in U, U \in \mathcal{T} \right\}}
является фильтром и обозначается
x
→
a
.
{\displaystyle x \to a.}
Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру
x
→
a
.
{\displaystyle x \to a.}
Односторонние пределы
См. также основную статью : Односторонние пределы
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M \subset \mathbb{R},}
и
a
∈
(
M
∩
(
a
,
∞
)
)
′
.
{\displaystyle a \in \bigl(M \cap (a, \infty) \bigr)'.}
Тогда система множеств
B
=
{
(
a
,
a
+
δ
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle \mathfrak{B} = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}}
является фильтром и обозначается
x
→
a
+
{\displaystyle x \to a+}
или
x
→
a
+
0.
{\displaystyle x \to a+0.}
Предел
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim\limits_{x \to a+}f(x)}
называется правосторонним пределом функции
f
{\displaystyle f}
при
x
{\displaystyle x}
стремящемся к
a
.
{\displaystyle a.}
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M \subset \mathbb{R},}
и
a
∈
(
M
∩
(
−
∞
,
a
)
)
′
.
{\displaystyle a \in \bigl(M \cap (-\infty,a) \bigr)'.}
Тогда система множеств
B
=
{
(
a
−
δ
,
a
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle \mathfrak{B} = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}}
является фильтром и обозначается
x
→
a
−
{\displaystyle x \to a-}
или
x
→
a
−
0.
{\displaystyle x \to a-0.}
Предел
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
{\displaystyle \lim\limits_{x\to a-} f(x)}
называется левосторонним пределом функции
f
{\displaystyle f}
при
x
{\displaystyle x}
стремящемся к
a
.
{\displaystyle a.}
Пределы на бесконечности
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M \subset \mathbb{R},}
и
sup
M
=
∞
.
{\displaystyle \sup M = \infty.}
Тогда система множеств
lim
x
→
∞
f
(
x
)
{\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty}f(x)}
называется пределом функции
f
{\displaystyle f}
при
x
{\displaystyle x}
стремящемся к бесконечности.
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M \subset \mathbb{R},}
и
inf
M
=
−
∞
.
{\displaystyle \inf M = -\infty.}
Тогда система множеств
B
=
{
M
∩
(
−
∞
,
T
)
∣
T
∈
R
}
.
{\displaystyle \mathfrak{B} = \{M \cap (-\infty,T) \mid T \in \mathbb{R}\}.}
является фильтром и обозначается
x
→
−
∞
.
{\displaystyle x \to -\infty.}
Предел
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
{\displaystyle \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)}
называется пределом функции
f
{\displaystyle f}
при
x
{\displaystyle x}
стремящемся к минус-бесконечности.
Предел последовательности
Система множеств
B
=
{
B
n
}
n
=
1
∞
,
{\displaystyle \mathfrak{B} = \{B_n\}_{n=1}^{\infty},}
где
B
n
=
{
n
,
n
+
1
,
n
+
2
,
…
}
n
∈
N
,
{\displaystyle B_n = \{n,n+1,n+2,\ldots\} \quad n \in \mathbb{N},}
является фильтром и обозначается
n
→
∞
.
{\displaystyle n\to\infty.}
Функция
n
∈
N
→
f
n
∈
R
{\displaystyle n\in \mathbb{N} \to f_n\in \mathbb{R}}
называется числовой последовательностью, а предел
lim
n
→
∞
f
n
{\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}f_n}
пределом этой последовательности.
Интеграл Римана
Пусть
f
:
[
a
,
b
]
⊂
R
→
R
.
{\displaystyle f:[a,b]\subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}.}
Назовём размеченным разбиением отрезка
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
коллекцию точек
T
=
{
a
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
,
x
n
−
1
≤
ξ
n
≤
x
n
n
∈
N
}
.
{\displaystyle T = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1}<x_n = b,\; x_{n-1} \leq \xi_n \le x_n \; n \in \mathbb{N}\}.}
Назовём диаметром разбиения
T
{\displaystyle T}
число
d
(
T
)
=
max
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
(
x
i
−
x
i
−
1
)
.
{\displaystyle d(T) = \max\limits_{i \in \{1,\ldots, n\}} (x_i - x_{i-1}).}
Тогда система множеств
B
=
{
T
∣
d
(
T
)
<
δ
,
δ
>
0
}
{\displaystyle \mathfrak{B} = \{T \mid d(T) < \delta, \delta > 0\}}
является фильтром в пространстве
T
{\displaystyle \mathfrak{T}}
всех размеченных разбиений
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Определим функцию
S
f
:
T
→
R
{\displaystyle S_f:\mathfrak{T} \to \mathbb{R}}
равенством
S
f
(
T
)
=
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
T
∈
T
.
{\displaystyle S_f(T) = \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})\quad T \in \mathfrak{T}.}
Тогда предел
lim
B
S
f
(
T
)
{\displaystyle \lim\limits_{\mathfrak{B}} S_f(T)}
называется интегралом Римана функции
f
{\displaystyle f}
на отрезке
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Свойства пределов числовых функций
Пусть даны функции
f
,
g
:
M
⊂
R
→
R
,
{\displaystyle f,g:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},}
и
a
∈
M
′
.
{\displaystyle a \in M'.}
Тогда
Предел
lim
x
→
a
f
(
x
)
{\displaystyle \lim\limits_{x\to a} f(x)}
единственнен, то есть
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
1
)
∧
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
2
)
⇒
(
A
1
=
A
2
)
;
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2);}
Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
)
∧
(
A
>
B
)
⇒
(
∃
ϵ
>
0
∀
x
∈
U
˙
ϵ
(
a
)
∩
M
f
(
x
)
>
B
)
,
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),}
где
U
˙
ϵ
(
a
)
{\displaystyle \dot{U}_{\epsilon}(a)}
- проколотая окрестность точки
a
{\displaystyle a}
.
В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
>
0
)
⇒
(
∃
ϵ
>
0
∀
x
∈
U
˙
ϵ
(
a
)
∩
M
f
(
x
)
>
0
)
;
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);}
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
)
⇒
(
∃
ϵ
>
0
∃
K
>
0
∀
x
∈
U
˙
ϵ
(
a
)
∩
M
|
f
(
x
)
|
≤
K
)
;
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);}
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
(
∃
ϵ
>
0
∀
x
∈
U
˙
ϵ
(
a
)
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
)
∧
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
)
∧
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
B
)
⇒
(
A
≤
B
)
;
{\displaystyle \left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);}
Предел суммы равен сумме пределов:
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
)
∧
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
B
)
⇒
(
lim
x
→
a
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
=
A
+
B
)
;
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);}
Предел разности равен разности пределов:
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
)
∧
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
B
)
⇒
(
lim
x
→
a
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
=
A
−
B
)
;
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);}
Предел произведения равен произведению пределов:
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
)
∧
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
B
)
⇒
(
lim
x
→
a
[
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
]
=
A
⋅
B
)
;
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);}
Предел частного равен частному пределов.
(
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
)
∧
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
B
≠
0
)
⇒
(
lim
x
→
a
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
A
B
)
.
{\displaystyle \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).}
См. также
Эта статья содержит материал из статьи Предел функции русской Википедии.