Викия

Математика

Предел функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x_0 если для всех значений x, достаточно близких к x_0, значение f(x) близко к A.

Определения

\forall \varepsilon>0\; \exists \delta > 0\;  \forall x \in M \quad (0<|x-a|<\delta ) \Rightarrow (|f(x) - A| < \varepsilon).
  • (окрестностное определение) Пусть дана функция f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} и a\in M' — предельная точка множества M. Число A\in \mathbb{R} называется пределом функции f при x, стремящемся к a (x \to a), если для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность \dot{U}(a) точки a такая, что
\left(x \in \dot{U}(a)\right) \Rightarrow (f(x) \in V(A)).
  • (определение по Гейне) Пусть дана функция f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} и a\in M' — предельная точка множества M. Будем называть \{\xi_n\}_{n=1}^{\infty} последовательностью Гейне, если \forall n\in \mathbb{N}\; \xi_n \in M \setminus \{a\}, и \xi_n \to a при n \to \infty. Число A\in \mathbb{R} называется пределом функции f при x, стремящемся к a (x \to a) тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем
f(\xi_n) \to A при n \to \infty.

Замечания

  • Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.
  • Если предел функции f при x \to a существует и равен A, пишут
\lim\limits_{x \to a} f(x) = A.

Предел вдоль фильтра

Определение фильтра

См. также основную статью: Фильтр (математика)

Пусть дано множество A. Система множеств \mathfrak{B} называется фильтром на A, если

  • \forall B\in \mathfrak{B}\; B \neq \emptyset;
  • \forall B_1,B_2 \in \mathfrak{B}\; \exists B_3\in \mathfrak{B} такой, что B_3 \subset B_1 \cap B_2.

Определение предела

Пусть f:M \to \mathbb{R}, и \mathfrak{B} — фильтр на M. Число A \in \mathbb{R} является пределом функции f по фильтру \mathfrak{B}, если

 \forall \varepsilon > 0 \; \exists B \in \mathfrak{B}\quad (x \in B) \Rightarrow (|f(x)-A| < \varepsilon).

Пишут: \lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = A.

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и M \subset X. Пусть a \in M'. Тогда система множеств

\mathfrak{B} = \left\{\dot{U}(a) \equiv U(a) \setminus\{a\}  \mid a \in U, U \in \mathcal{T} \right\}

является фильтром и обозначается x \to a. Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру x \to a.

Односторонние пределы

См. также основную статью: Односторонние пределы
  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и a \in \bigl(M \cap (a, \infty) \bigr)'. Тогда система множеств
\mathfrak{B} = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}

является фильтром и обозначается x \to a+ или x \to a+0. Предел \lim\limits_{x \to a+}f(x) называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.

  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и a \in \bigl(M \cap (-\infty,a) \bigr)'. Тогда система множеств
\mathfrak{B} = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}

является фильтром и обозначается x \to a- или x \to a-0. Предел \lim\limits_{x \to a-}f(x) называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.

Пределы на бесконечности

См. также основную статью: Пределы функции на бесконечности
  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и \sup M = \infty. Тогда система множеств
\lim\limits_{x \to \infty}f(x) называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.
  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и \inf M = -\infty. Тогда система множеств
\mathfrak{B} = \{M \cap (-\infty,T) \mid T \in \mathbb{R}\}.

является фильтром и обозначается x \to -\infty. Предел \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) называется пределом функции f при x стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

См. также основную статью: Предел последовательности

Система множеств \mathfrak{B} = \{B_n\}_{n=1}^{\infty}, где

B_n = \{n,n+1,n+2,\ldots\} \quad n \in \mathbb{N},

является фильтром и обозначается n \to \infty. Функция n\in \mathbb{N} \to f_n\in \mathbb{R} называется числовой последовательностью, а предел \lim\limits_{n \to \infty}f_n пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

См. также основную статью: Интеграл Римана

Пусть f:[a,b]\subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}. Назовём размеченным разбиением отрезка [a,b] коллекцию точек T = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1}<x_n = b,\; x_{n-1} \leq \xi_n \le x_n \; n \in \mathbb{N}\}. Назовём диаметром разбиения T число d(T) = \max\limits_{i \in \{1,\ldots, n\}} (x_i - x_{i-1}). Тогда система множеств

\mathfrak{B} = \{T \mid d(T) < \delta, \delta > 0\}

является фильтром в пространстве \mathfrak{T} всех размеченных разбиений [a,b]. Определим функцию S_f:\mathfrak{T} \to \mathbb{R} равенством

S_f(T) = \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})\quad T \in \mathfrak{T}.

Тогда предел \lim\limits_{\mathfrak{B}} S_f(T) называется интегралом Римана функции f на отрезке [a,b].

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции f,g:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и a \in M'. Тогда

  • Предел \lim\limits_{x \to a} f(x) единственнен, то есть
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2);
  • Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),

где \dot{U}_{\epsilon}(a) - проколотая окрестность точки a.

  • В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);
  • Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);
  • Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
    \left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge  \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);
  • Предел суммы равен сумме пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);
  • Предел разности равен разности пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);
  • Предел произведения равен произведению пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);
  • Предел частного равен частному пределов.
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).

См. также

Эта статья содержит материал из статьи Предел функции русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики