Предельная точка

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение[]

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ , где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Пусть также задано подмножество $A \subset X$ . Точка $x \in X$ называется предельной точкой множества $A$ , если для любого открытого множества $U \in \mathcal{T}$ , такого что $x \in U$ и

(U \setminus x) \cap A \not= \emptyset

.

Связанные понятия[]

Совокупность всех предельных точек множества $A$ называется его произво́дным мно́жеством и обозначается $A'$ .

Объединение самого множества $A$ с его производным множеством $A'$ называется замыканием множества и обозначается $\bar{A}$ или $[A]$ .

Свойства[]

Если $x \in X$ — предельная точка $A$ , то существует последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset A$ целиком лежащая в $A$ такая, что $x_n \to x$ при $n \to \infty$ .
Не всякая точка множества $A$ обязана быть предельной. Обратно, предельная точка множества не обязана ему принадлежать.
Любое бесконечное и ограниченное подмножество евклидова пространства содержит хотя бы одну свою предельную точку.

Лемма о предельной точке[]

Пусть $X \subset \mathbb{R}$ — бесконечное ограниченное подмножество числовой прямой. Тогда оно имеет хотя бы одну предельную точку, то есть $X' \neq \varnothing.$

Шаблон:Доказательство

Примеры[]

Рассмотрим множество действительных чисел $\R$ со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:

$(a,b)' = [a,b];$
$\mathbb{Q}' = \mathbb{R},$ где $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел;
$\mathbb{Z}' = \emptyset,$ где $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел;