Викия

Математика

Предельная точка

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение Править

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на X топология. Пусть также задано подмножество A \subset X. Точка x \in X называется предельной точкой множества A, если для любого открытого множества U \in \mathcal{T}, такого что x \in U и

(U \setminus x) \cap A \not= \emptyset.

Связанные понятия Править

Совокупность всех предельных точек множества A называется его произво́дным мно́жеством и обозначается A'.

Объединение самого множества A с его производным множеством A' называется замыканием множества и обозначается \bar{A} или [A].

Свойства Править

  1. Если x\in X — предельная точка A, то существует последовательность \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset A целиком лежащая в A такая, что x_n \to x при n \to \infty.
  2. Не всякая точка множества A обязана быть предельной. Обратно, предельная точка множества не обязана ему принадлежать.
  3. Любое бесконечное и ограниченное подмножество евклидова пространства содержит хотя бы одну свою предельную точку.

Лемма о предельной точке Править

Пусть X \subset \mathbb{R}бесконечное ограниченное подмножество числовой прямой. Тогда оно имеет хотя бы одну предельную точку, то есть X' \neq \varnothing.

Шаблон:Доказательство

Примеры Править

Рассмотрим множество действительных чисел \mathbb{R} со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:

Предельная точка последовательности Править

Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами. Например, у последовательности a_n=1 это точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики