Wikia

Математика

Пределы функции на бесконечности

Обсуждение0
1413статей на этой вики

Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

Определение Править

  • Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и \sup M = \infty. ТогдаA\in \mathbb{R} наывается пределом функции f при x стремящемся к бесконечности, если
\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (T,\infty)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.

Пишут:

\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = A.
  • Аналогично пусть f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и \inf M = \infty. Число A\in \mathbb{R} называется пределом функции f при x стремящемся к минус бесконечности, если
\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (-\infty,T)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.

Пишут:

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = A.

Окрестностное определение Править

Расширенная числовая прямая \bar{\mathbb{R}} \equiv \mathbb{R} \cup \{\infty\} \cup \{-\infty\} становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности ьдьщых точек следующим образом:

  • Окрестностью точки \infty является любой интервал
    (T,\infty] \equiv (T,\infty) \cup \{\infty\};
  • Окрестностью точки -\infty является любой интервал
    [-\infty,T) \equiv \{-\infty\}\cup (-\infty,T).

Пределы функции на бесконечности тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.

  • Число A называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность U(\infty) такая, что
\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).
  • Число A называется пределом функции f при x стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность U(-\infty) такая, что
\forall x \in U(-\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).

Предел вдоль фильтра Править

Пределы функции на бесконечности являются частными случаями пределов вдоль фильтров.

  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и \sup M = \infty. Cистема множеств
\mathfrak{B}_{\infty} = \{M \cap (T,\infty) \mid T \in \mathbb{R}\}

является фильтром и обозначается x \to \infty. По определению

\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \lim\limits_{\mathfrak{B}_{\infty}}f(x).
  • Аналогично пусть M \subset \mathbb{R}, и \inf M = -\infty. Тогда система множеств
\mathfrak{B}_{-\infty} = \{M \cap (-\infty,T) \mid T \in \mathbb{R}\}

является фильтром, обозначается x \to -\infty, и

\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = \lim\limits_{\mathfrak{B}_{-\infty}}f(x).


Викия-сеть

Случайная вики