Викия

Математика

Пределы функции на бесконечности

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

Определение Править

  • Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и \sup M = \infty. ТогдаA\in \mathbb{R} наывается пределом функции f при x стремящемся к бесконечности, если
\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (T,\infty)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.

Пишут:

\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = A.
  • Аналогично пусть f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и \inf M = \infty. Число A\in \mathbb{R} называется пределом функции f при x стремящемся к минус бесконечности, если
\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (-\infty,T)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.

Пишут:

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = A.

Окрестностное определение Править

Расширенная числовая прямая \bar{\mathbb{R}} \equiv \mathbb{R} \cup \{\infty\} \cup \{-\infty\} становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности ьдьщых точек следующим образом:

  • Окрестностью точки \infty является любой интервал
    (T,\infty] \equiv (T,\infty) \cup \{\infty\};
  • Окрестностью точки -\infty является любой интервал
    [-\infty,T) \equiv \{-\infty\}\cup (-\infty,T).

Пределы функции на бесконечности тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.

  • Число A называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность U(\infty) такая, что
\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).
  • Число A называется пределом функции f при x стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность U(-\infty) такая, что
\forall x \in U(-\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).

Предел вдоль фильтра Править

Пределы функции на бесконечности являются частными случаями пределов вдоль фильтров.

  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и \sup M = \infty. Cистема множеств
\mathfrak{B}_{\infty} = \{M \cap (T,\infty) \mid T \in \mathbb{R}\}

является фильтром и обозначается x \to \infty. По определению

\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \lim\limits_{\mathfrak{B}_{\infty}}f(x).
  • Аналогично пусть M \subset \mathbb{R}, и \inf M = -\infty. Тогда система множеств
\mathfrak{B}_{-\infty} = \{M \cap (-\infty,T) \mid T \in \mathbb{R}\}

является фильтром, обозначается x \to -\infty, и

\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = \lim\limits_{\mathfrak{B}_{-\infty}}f(x).


Примеры надо рассматривать!

Викия-сеть

Случайная вики