В математическом анализеправилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Правило говорит, что если функции и обладают следующим набором условий:
или ;
;
в некоторой окрестности точки ,
тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
История[]
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.
Доказательство[]
1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).
Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:
,
но , поэтому .
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:
для конечного предела и
для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
2. Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где — O(1). Запишем это условие:
.
Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :
, что можно привести к следующему виду:
.
Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :
.
Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры[]
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:
;
при .
ar:قاعدة اوبيتالca:Regla de L'Hôpitalcs:L'Hospitalovo pravidloda:L'Hôpitals regeleu:L'Hopitalen erregelahe:כלל לופיטלhu:L’Hospital-szabályis:Regla l'Hôpitalsla:Hospitalii regulanl:Regel van L'Hôpitalpl:Reguła de l'Hospitalasl:L'Hôpitalovo pravilosr:Лопиталово правилоsv:L'Hôpitals regelth:หลักเกณฑ์โลปีตาลправило Лопиталя