Викия

Математика

Правило Лопиталя

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и \infty/\infty. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка Править

Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:

  1. \lim_{x\to a+}{f(x)}=\lim_{x\to a+}{g(x)}=0 или \infty;
  2. \exists \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}};
  3. g(x)\neq 0 в некоторой окрестности точки a,

тогда существует \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История Править

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

Доказательство Править

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида \left(\frac{0}{0}\right)).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a)=g(a)=0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку [a,\;x] теорему Коши. По этой теореме получим:

\exists c \in [a,x]\!:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},

но f(a)=g(a)=0, поэтому \forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon) для конечного предела и
\forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M) для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида \left(\frac{\infty}{\infty}\right).

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A+\alpha, где \alphaO(1). Запишем это условие:

\forall\varepsilon_{1}\, \exists \delta_{1}\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow \alpha(x)<\varepsilon_{1}).

Зафиксируем t из отрезка [a,\;a+\delta_1] и применим теорему Коши ко всем x из отрезка [a,\;t]:

\forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}, что можно привести к следующему виду:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t)константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1+\beta, где \beta — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение \varepsilon, что и в определении для \alpha:

\forall \varepsilon_{1}\, \exists \delta_{2}\, \forall x(x-a<\delta_{2}\Rightarrow \beta(x)<\varepsilon_{1}).

Получили, что отношение функций представимо в виде (1+\beta)(A+\alpha), и \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}. По любому данному \varepsilon можно найти такое \varepsilon_{1}, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше \varepsilon, значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M).

В определении \beta будем брать \varepsilon_{1} < \frac{1}{2}; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда \frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры Править

  • \lim_{x \to 0}\frac{x^2+5x} {3x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+5} {3} = \frac{5} {3}=1\frac{2}{3}
  • \lim_{x \to \infty}\frac{x^3+4x^2+7x+9} {x^3+3x^2}
    Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x^3). В этом примере получается:
    \lim_{x \to \infty}\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3} {1+3/x} = \frac{1} {1} = 1
  • \lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty;
  • \lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty при a>0.


ar:قاعدة اوبيتال ca:Regla de L'Hôpital cs:L'Hospitalovo pravidlo da:L'Hôpitals regeleu:L'Hopitalen erregelahe:כלל לופיטל hu:L’Hospital-szabály is:Regla l'Hôpitalsla:Hospitalii regula nl:Regel van L'Hôpital pl:Reguła de l'Hospitalasl:L'Hôpitalovo pravilo sr:Лопиталово правило sv:L'Hôpitals regel th:หลักเกณฑ์โลปีตาลправило Лопиталя

Викия-сеть

Случайная вики