Предел функции
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.
Функция 
имеет предел 
в точке 
если для всех значений 
, достаточно близких к , значение близко к .
Содержание |
[править] Определения
- (определение по Коши, ε−δ—определение) Пусть дана функция
и 
— предельная точка множества 
Число 
называется пределом функции 
при 
стремящемся к 
, если
- (окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества Число называется пределом функции при стремящемся к , если для любой окрестности
точки существует проколотая окрестность 
точки такая, что
- (определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества Будем называть
последовательностью Гейне, если 
и 
при 
Число называется пределом функции при стремящемся к тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем
-
при
[править] Замечания
- Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.
- Если предел функции при
существует и равен , пишут
- Предел может быть односторонним или двусторонним..
[править] Предел вдоль фильтра
[править] Определение фильтра
Пусть дано множество 
Система множеств 
называется фильтром на , если
-
-
такой, что 
[править] Определение предела
Пусть 
и — фильтр на Число 
является пределом функции по фильтру 
если
Пишут: 
[править] Примеры
[править] Обычный предел
Пусть дано топологическое пространство 
, и 
Пусть 
Тогда система множеств
является фильтром и обозначается 
Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру
[править] Односторонние пределы
- Пусть
и 
Тогда система множеств
является фильтром и обозначается 
или 
Предел 
называется правосторонним пределом функции при стремящемся к 
- Пусть и
Тогда система множеств
является фильтром и обозначается 
или 
Предел 
называется левосторонним пределом функции при стремящемся к
[править] Пределы на бесконечности
- Пусть и
Тогда система множеств
является фильтром и обозначается 
или 
Предел 
называется пределом функции при стремящемся к бесконечности.
- Пусть и
Тогда система множеств
является фильтром и обозначается 
Предел 
называется пределом функции при стремящемся к минус-бесконечности.
[править] Предел последовательности
Система множеств 
где
является фильтром и обозначается Функция 
называется числовой последовательностью, а предел 
пределом этой последовательности.
[править] Интеграл Римана
Пусть 
Назовём размеченным разбиением отрезка 
коллекцию точек 
Назовём диаметром разбиения 
число 
Тогда система множеств
является фильтром в пространстве 
всех размеченных разбиений 
Определим функцию 
равенством
Тогда предел 
называется интегралом Римана функции на отрезке
[править] Свойства пределов числовых функций
Пусть даны функции 
и Тогда
- Предел
единственнен, то есть
- Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
-
где 
- проколотая окрестность точки .
- В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
-
- Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
- Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
- Предел суммы равен сумме пределов:
-
- Предел разности равен разности пределов:
-
- Предел произведения равен произведению пределов:
-
- Предел частного равен частному пределов.
-
[править] См. также
Эта статья содержит материал из статьи Предел функции русской Википедии.
