Викия

Математика

Порядковое число

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Определение Править

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по Фон Нейману выглядит следующим образом:

  • Назовём множество транзитивным, если каждый элемент x является подмножеством x: \mathrm{Trans}(x) \rightleftharpoons \forall t (t \in x \rightarrow t \subseteq x).
  • Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: \mathrm{Ord}(x) \rightleftharpoons \mathrm{Trans}(x) \wedge \forall t (t \in x \rightarrow  \mathrm{Trans}(t)).

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело-Френкеля.

Свойства Править

  • Если \alpha — порядковое число, то каждый элемент \alpha — порядковое число.
  • \varnothing — порядковое число.
  • Если \alpha — порядковое число, то \alpha \cup \{ \alpha \} — порядковое число (терм \alpha \cup \{ \alpha \} обозначают при этом как \alpha  + 1).
  • Множество натуральных чисел \omega — порядковое число, множества \omega + 1, \omega + 2, \omega + \omega… — порядковые числа.
  • Всякое множество x порядковых чисел вполне упорядочено по отношению \in, при этом \bigcap x — наименьший элемент любого множества порядковых чисел, \bigcup x — порядковое число, большее или равное любому из чисел во множестве x.
  • Не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.

Арифметика ординалов Править

См. также Править

Литература Править

ar:رقم ترتيبي

ca:Nombre ordinal cs:Ordinální číslo da:Ordinaltaleo:Numeroio:Ordinala nombro is:Raðtalahe:מספר סודר hu:Rendszám (halmazelmélet) nl:Rangtelwoordpl:Liczby porządkowesimple:Ordinal number sl:Ordinalno število sv:Ordinaltal

Викия-сеть

Случайная вики