Викия

Математика

Порядковая статистика

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Сирота

Поря́дковые стати́стики в математической статистике - это упорядоченная по возрастания выборка. Это статистика, занимающая строго определенное место в ранжированной совокупности.

Определение Править

Пусть X_1,\ldots,X_n - конечная выборка из распределения \mathbb{P}^X, определённая на некотором вероятностном пространстве (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Пусть \omega \in \Omega и x_i = X_i(\omega),\; i=1,\ldots,n. Перенумеруем последовательность \{x_i\}_{i=1}^n в порядке возрастания, так что

x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n-1)} \le x_{(n)}.

Случайная величина X_{(k)}(\omega) = x_{(k)} называется k-ой порядковой статистикой исходной выборки.

Замечания Править

Очевидно из определения:

  • X_{(1)} = \min(X_1,\ldots,X_n);
  • X_{(n)} = \max(X_1,\ldots,X_n).

Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения Править

f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} [F_X(x)]^{k-1} [1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x).
  • Случайный вектор \left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top}, где 1\le j < k \le n также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:
f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_j,x_k) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} [F_X(x_j)]^{j-1} [F_X(x_k) - F_X(x_j)]^{k-j-1}[1-F_X(x_k)]^{n-k} f_X(x_j) f_X(x_k), & x_j \le x_k \\
0, & x_j > x_k
\end{matrix}
\right..

ПримерПравить

Файл:Order statistics uniform distribution.png

Пусть U_1,\ldots,U_n \sim \mathrm{U}[0,1] - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда

  • f_{U_{(k)}}(u) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} u^{k-1} [1-u]^{n-k},\quad u \in [0,1],

то есть U_{(k)} \sim \mathrm{B}(k,n-k+1), где \mathrm{B} - бета распределение;

  • f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_j,u_k) = \frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} u_j^{j-1} [u_k-u_j]^{k-j-1}[1-u_k]^{n-k}, \quad j<k, \quad 0 \le u_j \le u_k \le 1;
  • f_{U_{(1)},\ldots,U_{(n)}}(u_1,\ldots,u_n) = n!,\quad 0 \le u_1 \le \cdots \le u_n \le 1.

Шаблон:Нет ссылок

Викия-сеть

Случайная вики