Викия

Математика

Полунепрерывная функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:Upper semi.png
Файл:Lower semi.png

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значение функции в ней. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней.

Определения Править

\varliminf_{x\to x_0}f(x)\ge f(x_0)\; \left(\varlimsup_{x\to x_0}f(x)\le f(x_0)\right).
  • Функция f называется полунепрерывной снизу (сверху) на M \subset X, если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех x_0\in M.

Свойства Править

  • Функция f:X \to \R полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество \{x\in X \mid f(x) > a\} открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого a\in \R.
  • Пусть f,g:X \to \R суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма f+g также полунепрерывна снизу (сверху).
  • Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x_0 функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в x_0. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций f_n: X \to \mathbb{R},\;  n\in \mathbb{N} таких, что f_{n+1}(x) \ge (\le) f_n(x)\; \forall n\in \mathbb{N}\; \forall x\in X. Тогда если существует предел \lim\limits_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)\; \forall x \in X, то f полунепрерывна снизу (сверху).
  • Если u:X \to \mathbb{R} и v:X \to \mathbb{R} есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
         -\infty < v(x) \le u(x) < \infty,\; x\in X,
    то существует непрерывная функция f:X \to \mathbb{R}, такая что
        v(x) \le f(x) \le u(x),\; x\in X.
  • (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество K \subset X. Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция f:K\to \R достигает на K своего минимума (максимума).

Примеры Править

  • Целая часть x\mapsto [x] является полунепрерывной сверху функцией;
  • Дробная часть x\mapsto \{x\} полунепрерывная снизу.
  • Индикатор \mathbf{1}_U произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой \varrho, множества U \subset X является полунепрерывной снизу функцией.
  • Индикатор \mathbf{1}_V произвольного замкнутого множества V \subset X является полунепрерывной сверху функцией.

Литература Править

  • Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
  • Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.cs:Polospojitostpl:Półciągłość

Викия-сеть

Случайная вики