По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция или сложение) и (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.
Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.
Связанные определения[]
- Характеристика поля — наименьшее положительное целое число такое, что сумма копий единицы равна нулю:
Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению. - Подполем поля называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в .
Свойства[]
- Характеристика поля всегда 0 или простое число.
- Поле характеристики 0 содержит , поле рациональных чисел.
- Поле характеристики p содержит , поле вычетов по модулю .
- Количество элементов в конечном поле всегда равно , степени простого числа.
- При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое .
- Любой гомоморфизм полей является вложением.
Примеры[]
- — рациональные числа,
- — вещественные числа,
- — комплексные числа,
- — поле вычетов по модулю p, где p — простое число.
- — конечное поле из элементов, где p — простое число, k — натуральное.
ca:Cos (matemàtiques) da:Legeme (matematik) eo:Korpo (algebro) et:Korpus (matemaatika) hu:Test (algebra) io:Feldo (algebro) nl:Lichaam (algebra) pl:Ciało (matematyka) sk:Pole (algebra) sl:Polje (matematika)