Викия

Математика

Показательная функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Показательная функцияфункция обычно обозначаемая ax, где a - некоторое вещественное число, а x — переменная. Если в качестве a (называемого также основанием) стоит число e, то функция называется экспонентой.

Выведем существование и свойства функции ex на основе теории пределов.

Введение показательной функцииПравить

Рассмотрим последовательность an(x)=(1+\frac{x}{n})^{n}, обозначим через a(x) её предел: a(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}(x)}.

Очевидно, что

  • a(0) = 1;
  • a(1) = e по определению;
  • \forall x  \exists N: \forall n (n>N)\Rightarrow (a_{n}(x) > 0)

Поэтому если предел существует для какого-то x, то он неотрицателен. Докажем теперь, что при любом x последовательность an(x) сходится и, таким образом, функция a(x) определена для любого вещественного x. Вначале докажем монотонность an(x). Как уже было замечено, при любом x, начиная с некоторого n, все члены последовательности положительны, поэтому безбоязненно рассмотрим при таких n дробь \frac{a_{n+1}}{a_{n}}. Преобразуем её: \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{x}{n})^{n}}=(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}})^{n+1}(1+\frac{x}{n})=(\frac{(1+\frac{x}{n})+(\frac{x}{n+1}-\frac{x}{n})}{1+\frac{x}{n}})^{n+1}(1+\frac{x}{n})=(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)})^{n+1}(\frac{n+x}{n}). Теперь к самому левому множителю применим неравенство Бернулли и получим, что всё выражение больше (строго при n больше некоторого N1), чем (1-\frac{x}{n+x})(\frac{n+x}{n}) = 1. Стало быть, последовательность возрастает. Для существования предела необходима также ограниченность сверху. Докажем и её. an(x)an(-x) = (1-(\frac{x}{n})^{2})^{n}, значит, a(x) = \frac{(1-(\frac{x}{n})^{2})^{n}}{a_{n}(-x)}. Числитель дроби справа при достаточно больших n больше нуля, но всегда меньше единицы, знаменатель, как только что было доказано, возрастает и при достаточно больших n больше нуля. Зафиксируем какое-нибудь n = N2, чтобы знаменатель был больше нуля. Тогда левая часть всегда будет меньше \frac{1}{a_{N_{2}}(x)}, то есть константы. Значит, последовательность действительно ограничена и a(x) определена всюду на \mathbb{R}.

СвойстваПравить

Опишем свойства введённой нами функции.

1). a(x+y) = a(x)a(y). Для доказательства этого факта докажем сперва лемму: если \lim_{n\rightarrow\infty}{n\alpha_{n}}=0, то \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\alpha_{n})^{n}}=1.

При достаточно больших n |αn| становится меньше единицы; по неравенству Бернулли получаем, что 1+n\alpha_{n}\leq(1+\alpha_{n})^{n} = \frac{(1-\alpha_{n}^{2})^{n}}{(1-\alpha_{n})^{n}}\leq\frac{1}{(1-\alpha_{n})^{n}}\leq\frac{1}{1-n\alpha_{n}}. Видим, что самая левая и самая правая части стремятся к единице, а значит, по теореме о неравенстве пределов, и заключённое между ними выражение стремится к тому же числу, ч. т. д.

Теперь доказательство собственно свойства. a(x)a(y) = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x}{n})^{n}}\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{y}{n})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x}{n})^{n}(1+\frac{y}{n})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^{2}})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x+y}{n})^{n}(1+\alpha_{n})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x+y}{n})^{n}}, где α = \frac{xy}{n^{2}(1+\frac{x+y}{n})}. Из этого свойства следует, что a(x)a(-x)=1.

2). Из свойства 1 следует, что для любого x a(x) неотрицательна, но a(x) = a(x/2+x/2) = a(x)2, а значит, a(x) всегда положительна.

3). a(x) возрастает. Действительно, если x2 > x1, то a(x2) = a(x1 + (x2 - x1)) = a(x1)a(x2 - x1), где a(x1) положительно, а следующий сомножитель больше единицы (так как, по всё тому же неравенству Бернулли, a(x) >= 1+x).

4). a(x) непрерывна. Докажем непрерывность в нуле: 1+x \leq a(x)=\frac{1}{a(-x)}\leq\frac{1}{1-x}, а значит, предел в нуле равен единице - значению в нуле. Если мы рассмотрим x0, то увидим, что a(x) = a(x0)a(x-x0), при стремлении x к x0 правый множитель стремится к 1, поэтому предел a(x) в точке равен значению её в этой же точке, ч. т. д.

Теперь посмотрим повнимательнее на введённую функцию. a(nx) = a((n - 1)x + x) = … = (a(x))n; a(1) = e, a(1/n) = e1/n, a(m/n) = em/n, a(-m/n) = e-m/n, всё это легко показать. Получилось, что на множестве рациональных чисел введённая функция совпадает с функцией ex; на самом деле, она совпадает с ней на \mathbb{R}.

Шаблон:Чистить


ca:Funció exponencial da:Eksponentialfunktioneo:Eksponenta funkciohe:פונקציה מעריכית id:Fungsi eksponensial io:Exponentalanl:Exponentiële functie pl:Funkcja wykładniczask:Exponenciálna funkcia sr:Експоненцијална функција su:Fungsi éksponénsial sv:Exponentialfunktion

Викия-сеть

Случайная вики