Плотность последовательности ― понятие общей аддитивной теории чисел, изучающей законы сложения целочисленных последовательностей общего вида. Плотность последовательности является мерой того, какая часть из последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной последовательности целых неотрицательных чисел . Под понятием плотности последовательности имеется в виду плотность (введенная в 1930 Шнирельманом) последовательности А, а именно:
где количество членов последовательности не превосходящих .
Связанные определения[]
Пусть ― арифметическая сумма последовательностей и , т. е. множество .
Если полагают , аналогично и т. д.
Если , то назывется базисом -того порядка.
Свойства[]
- Плотность тогда и только тогда, когда совпадает с множеством всех целых неотрицательных чисел.
- Неравенство Шнирельмана
- Неравенство Манна ― Дайсона
Из неравенства Шнирельмана следует, что всякая последовательность положительной плотности есть базис конечного порядка. Применение этого факта к аддитивным задачам, в которых часто суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется посредством предварительного конструирования из заданных последовательностей новых с положительной плотностью. Например, с помощью методов решета доказывается, что последовательность , где пробегает простые числа, обладает положительной плотностью. Отсюда следует теорема Шнирельмана: существует такое целое число , что любое натуральное число есть сумма не более простых чисел. Эта теорема дает решение т. н. ослабленной проблемы Гольдбаха.
Вариации и обобщения[]
Разновидностью понятия плотности последовательности является понятие асимптотической плотности, частным случаем которой будет натуральная плотность.
Понятие плотности последовательности обобщается на числовые последовательности, отличные от натурального ряда, например на последовательности целых чисел в полях алгебраических чисел. В результате удается изучать базисы в алгебраических полях. he:צפיפות שנילרמן sk:Schnirelmannova hustota sl:Šnireljmanova gostota