Викия

Математика

Плотность последовательности

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Плотность последовательности ― понятие общей аддитивной теории чисел, изучающей законы сложения целочисленных последовательностей общего вида. Плотность последовательности является мерой того, какая часть из последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной последовательности A=\{a_i\} целых неотрицательных чисел 0=a_0<a_1<a_2<\dots. Под понятием плотности последовательности имеется в виду плотность d(A) (введенная в 1930 Шнирельманом) последовательности А, а именно:

d(A)=\inf_{n\in \Z_+}(\pi_A(n)-1)/n

где \pi_A(n) количество членов последовательности A не превосходящих n.

Связанные определенияПравить

Пусть A+Bарифметическая сумма последовательностей A=\{a_i\} и B=\{b_i\}, т. е. множество A+B=\{c\in\Z_+|c=a+b, a\in A, b\in B\}.

Если A=B полагают 2A=A+A, аналогично 3A=2A+A и т. д.

Если nA=\Z_+, то A назывется базисом n-того порядка.

СвойстваПравить

  • Плотность d(A) = 1 тогда и только тогда, когда A совпадает с множеством \Z_+ всех целых неотрицательных чисел.
  • Неравенство Шнирельмана
d(A+B)\ge d(A)+d(B)-d(A)d(B)
  • Неравенство Манна ― Дайсона
d(A+B)\ge \min\{d(A)+d(B),1\}

Из неравенства Шнирельмана следует, что всякая последовательность положительной плотности есть базис конечного порядка. Применение этого факта к аддитивным задачам, в которых часто суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется посредством предварительного конструирования из заданных последовательностей новых с положительной плотностью. Например, с помощью методов решета доказывается, что последовательность \{p\}+\{p\}, где p пробегает простые числа, обладает положительной плотностью. Отсюда следует теорема Шнирельмана: существует такое целое число c_0>0, что любое натуральное число есть сумма не более c_0 простых чисел. Эта теорема дает решение т. н. ослабленной проблемы Гольдбаха.

Вариации и обобщенияПравить

Разновидностью понятия плотности последовательности является понятие асимптотической плотности, частным случаем которой будет натуральная плотность.

Понятие плотности последовательности обобщается на числовые последовательности, отличные от натурального ряда, например на последовательности целых чисел в полях алгебраических чисел. В результате удается изучать базисы в алгебраических полях.he:צפיפות שנילרמןsk:Schnirelmannova hustota sl:Šnireljmanova gostota

Викия-сеть

Случайная вики