ФЭНДОМ


Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве $ \mathbb{R}^n $. В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Плотность вероятности Править

Пусть $ \mathbb{P} $ является вероятностной мерой на $ \mathbb{R}^n $, то есть определено вероятностное пространство $ \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right) $, где $ \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) $ обозначает борелевскую σ-алгебру на $ \mathbb{R}^n $. Пусть $ m $ обозначает меру Лебега на $ \mathbb{R}^n $.

Определение 1. Вероятность $ \mathbb{P} $ называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) ($ \mathbb{P} \ll m $), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность нуль:

$ \forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \Rightarrow ( \mathbb{P}(B) = 0 ) . $

Если вероятность $ \mathbb{P} $ абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция $ f:\mathbb{R} \to [0,\infty) $ такая, что

$ \mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx $,

где использовано общепринятое сокращение $ m(dx) \equiv dx $, и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. Функция $ f $, определённая выше, называется производной Радона-Никодима вероятности $ \mathbb{P} $ относительно меры $ m $ или плотностью вероятности $ \mathbb{P} $ (относительно меры $ m $):

$ f = \frac{d\mathbb{P}}{dx} $.

Свойства плотности вероятности Править

  • Плотность вероятности определена почти всюду. Если $ f $ является плотностью вероятности $ \mathbb{P} $ и $ f(x) = g(x) $ почти всюду относительно меры Лебега, то и функция $ g $ также является плотностью вероятности $ \mathbb{P} $.
  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
$ \mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\right) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1 $.

Обратно, если $ f(x) $ — неотрицательная п.в. функция, такая что $ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1 $, то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера $ \mathbb{P} $ на $ \mathbb{R}^n $ такая, что $ f(x) $ является её плотностью.

  • Замена меры в интеграле Лебега:
$ \int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f(x)\, dx $,

где $ \varphi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры $ \mathbb{P} $.

Плотность случайной величины Править

Пусть определено произвольное вероятностное пространство $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $, и $ X:\Omega \to \mathbb{R}^n $ случайная величина (или случайный вектор). $ X $ индуцирует вероятностную меру $ \mathbb{P}^X $ на $ \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right) $, называемую распределением случайной величины $ X $.

Определение 3. Если распределение $ \mathbb{P}^X $ абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность $ f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx} $ называется плотностью случайной величины $ X $. Сама случайная величина $ X $ называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

$ \mathbb{P}(X \in B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx $.

Замечания Править

  • Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
  • Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины $ X $ непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
$ F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\infty}^{x_n} \!\! \ldots \!\! \int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx'_n $.

В одномерном случае:

$ F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx' $.

Если $ f_X \in C(\mathbb{R}^n) $, то пиздец, и

$ \frac{\partial^n}{\partial x_1 \ldots \partial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n) $.

В одномерном случае:

$ \frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x) $.
$ \mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx $,

где $ g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ — борелевская функция, так что $ \mathbb{E}[g(X)] $ определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины Править

Пусть $ X:\Omega \to \mathbb{R}^n $ — случайная величина, и $ g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $ — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что $ J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n $, где $ J_g(x) $якобиан функции $ g $ в точке $ x $. Тогда случайная величина $ Y = g(X) $ также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

$ f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert $.

В одномерном случае:

$ f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert $.

Примеры абсолютно непрерывных распределений Править


См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Плотность вероятности русской Википедии.