Плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество, точками которого можно приблизить любую точку объемлющего пространства.

Определения

• Пусть даны топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ и два подмножества $A,B\subset X.$ Тогда множество $A$ называется плотным во множестве $B,$ если любая окрестность любой точки $B$ содержит хотя бы одну точку из $A$, то есть

$\forall x \in B \; \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \emptyset\bigr).$

• Множество $A$ называется всюду плотным, если оно плотно в $X.$

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда замыкание $A$ содержит $B,$ то есть $\bar{A} \supset B.$ В частности, $A$ всюду плотно, если $\bar{A} = X.$
• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к $A$ не пересекается с $B,$ то есть $\left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \emptyset.$ В частности, $A$ всюду плотно, если $\left(A^{\complement}\right)^0 = \emptyset.$

Примеры

• Множество плотно в себе, если в любой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы одна точка множества, отличная от х
• Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ плотно в пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}.$

См. также

• Нигде не плотное множество;
• Сепарабельное пространство.

cs:Hustá množina eo:Densa aro he:קבוצה צפופה pl:Zbiór gęsty vi:Tập trù mật