ФЭНДОМ


Файл:TwoPlanes.png

Пло́скость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А.К.Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816-1818), нормальное уравнение ввёл Л.О.Гессе (1861).

Некоторые характеристические свойства плоскости Править

  • П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую соединяющую любые её точки;
  • П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Уравнения плоскоcти Править

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-й степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
(1) $ Ax+By+Cz+D=0, $

где $ A,B,C $ и $ D $ - постоянные, причём $ A,B $ и $ C $ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$ (\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0 $

где $ \mathbf{r} $ - радиус-вектор точки $ M(x,y,z) $, вектор $ \mathbf{N}=(A,B,C) $ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $ \mathbf{N} $:

$ \cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, $
$ \cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, $
$ \cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю уравнение наз. неполным. При $ D=0 $ П. проходит через начало координат, при $ A=0 $ (или $ B=0 $, $ C=0 $) П. параллельна оси $ Ox $ (соответствённо $ Oy $ или $ Oz $). При $ A=B=0 $ ($ A=C=0 $, или $ B=C=0 $) П. параллельна плоскости $ Oxy $ (соответственно $ Oxz $ или $ Oyz $).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
$ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1, $

где $ a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C $ - отрезки, отсекаемые П. на осях $ Ox, Oy $ и $ Oz $.

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку $ M(x_0,y_0,z_0) $ перпендикулярно вектору $ \mathbf{N}(A,B,C) $:
$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0; $

в векторной форме:

$ ((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0. $
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $ M(x_i,y_i,z_i) $, не лежащие на одной прямой:
$ ((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0 $

(смешанное произведение векторов), иначе

$ \left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x-x_2&y-y_2&z-z_2\\ x-x_3&y-y_3&z-z_3\\ \end{matrix}\right|=0. $
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
(2) $ x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0; $

в векторной форме:

$ (\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0, $

где $ \mathbf{N^0} $- единичный вектор, $ p $ - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$ \mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $

(знаки $ \mu $ и $ D $ противоположны).

  • Отклонение точки $ M_1(x_1,y_1,z_1) $ от плоскости
$ \delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p; $

$ \delta>0 $,если $ M_i $ и начало координат лежат по разные стoроны П., в противоположном случае $ \delta<0 $. Расстояние от точки до П. равно $ |\delta|. $

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
$ \cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}}; $

Если в векторной форме, то

$ \cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}. $
$ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} $ или $ [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0. $
  • Плоскости перпендикулярны, если
$ A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 $ или $ (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0 $.
  • Пучок плоскостей – уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей
$ \alpha (A_1x+B_1y+C_1z)+\beta(A_2z+B_2y+C_2z)=0, $

где $ \alpha $ и $ \beta $ - любые числа, не равные одновременно нулю.af:Vlak ast:Planu (xeometría) bg:Равнина (математика) ca:Pla chr:ᎭᏫᎾᏗᏢ ᏗᏎᏍᏗ ᎤᎬᏩᎵ cs:Rovina da:Plan (matematik)et:Tasandhe:מישור (גאומטריה) io:Planonds:Flach (Mathematik) nl:Vlak pl:Płaszczyznaqu:P'allta simple:Plane (mathematics) sk:Rovina (geometria) sl:Ravnina sr:Раван sv:Plan