Викия

Математика

Плоскость (математика)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:TwoPlanes.png

Пло́скость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А.К.Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816-1818), нормальное уравнение ввёл Л.О.Гессе (1861).

Некоторые характеристические свойства плоскости Править

  • П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую соединяющую любые её точки;
  • П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Уравнения плоскоcти Править

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-й степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
(1) Ax+By+Cz+D=0,

где A,B,C и D - постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

где \mathbf{r} - радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор \mathbf{N}=(A,B,C) перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора \mathbf{N}:

\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю уравнение наз. неполным. При D=0 П. проходит через начало координат, при A=0 (или B=0, C=0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A=B=0 (A=C=0, или B=C=0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

где a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C - отрезки, отсекаемые П. на осях Ox, Oy и Oz.

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x_0,y_0,z_0) перпендикулярно вектору \mathbf{N}(A,B,C):
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;

в векторной форме:

((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(x_i,y_i,z_i), не лежащие на одной прямой:
((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0

(смешанное произведение векторов), иначе

\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x-x_2&y-y_2&z-z_2\\ x-x_3&y-y_3&z-z_3\\ \end{matrix}\right|=0.
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
(2) x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0;

в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0,

где \mathbf{N^0}- единичный вектор, p - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(знаки \mu и D противоположны).

  • Отклонение точки M_1(x_1,y_1,z_1) от плоскости
\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;

\delta>0,если M_i и начало координат лежат по разные стoроны П., в противоположном случае \delta<0. Расстояние от точки до П. равно |\delta|.

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};

Если в векторной форме, то

\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} или [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.
  • Плоскости перпендикулярны, если
A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 или (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0.
  • Пучок плоскостей – уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей
\alpha (A_1x+B_1y+C_1z)+\beta(A_2z+B_2y+C_2z)=0,

где \alpha и \beta - любые числа, не равные одновременно нулю.af:Vlak ast:Planu (xeometría) bg:Равнина (математика) ca:Pla chr:ᎭᏫᎾᏗᏢ ᏗᏎᏍᏗ ᎤᎬᏩᎵ cs:Rovina da:Plan (matematik)et:Tasandhe:מישור (גאומטריה) io:Planonds:Flach (Mathematik) nl:Vlak pl:Płaszczyznaqu:P'allta simple:Plane (mathematics) sk:Rovina (geometria) sl:Ravnina sr:Раван sv:Plan

Викия-сеть

Случайная вики