Первообразный корень (абстрактная алгебра)

Первообразный корень или примитивный корень из единицы в поле $k$ степени $m$ ― элемент $\xi$ поля $k$ такой, что $\xi^m = 1$ и $\xi^\ell \not= 1$ для любого натурального $\ell < m$. Элемент $\xi$, порождает циклическую группу корней из единицы порядка $m$.

Свойства

• Если в поле $k$ существует первообразный корень степени $m$, то $m$ взаимно просто с характеристикой поля $k$.
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени взаимно простой с характеристикой поля.
• Если $\xi$ ― первообразный корень степени $m$ то для любого $\ell$ взаимно простого с $m$
• элемент $\xi^\ell$ также является первообразным корнем.
• Число всех первообразных корней степени $m$ равно значению функции Эйлера $\phi(m)$.
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени имеют вид
    $\exp2\pi\ell/m=\cos2\pi\ell/m+i\sin2\pi\ell/m$
  где $\ell$ взаимно просто с $m$.