Шаблон:Чистить Параметрические поверхности широко используются в прикладной геометрии и компьютерной графике для представления сложных поверхностей. Параметризация делает такие поверхности удобными для обработки и отображения.
Классом трёхмерных параметрических поверхностей называется функция F, зависящая от k параметров, отображающая некоторое связное множество M из n-мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является поверхностью. Таким образом, функция F определяет класс поверхностей, а набор k параметров - конкретную поверхность из этого класса. Наиболее практичным является случай, когда множество M является единичным квадратом в двумерном пространстве. В этом случае параметрическую поверхность можно описать так: (x,y,z) = F(u,v), где u,v ⊂[0,1]
Далее рассматриваются некоторые распространённые классы параметрических поверхностей.
Параметризация простейших поверхностей[]
- Плоскость
Точка и базис из двух неколлинеарных векторов в трёхмерном пространстве определяет плоскость и отображение на неё двумерной декартовой системы координат. Тем самым определяется uv-параметризация плоскости (u и v - параметры).
- Плоский N-угольник
В общем случае параметризацию в N-угольнике можно ввести используя систему барицентрических координат.
- Треугольник
Этот важнейший частный случай N-угольника заслуживает особого внимания. Наиболее распространённый способ параметризации треугольника - линейное отображение на него треугольника из uv-пространства.
- Сфера, цилиндр
Параметризацию таких поверхностей удобнее всего ввести используя соответственно сферическую либо цилиндрическую систему координат.
Кривые поверхности[]
- Билинейный интерполяционный четырёхугольник
Упорядоченный набор из 4-х точек в пространстве определяет билинейную интерполяционную поверхность и задаёт отображение на неё квадрата u,v⊂[0,1] Эта поверхность является гладкой, однако невозможность задавать произвольные касательные на её границе делает её практически неприменимой в качестве патчей
- Сплайновая поверхность Безье (Bezier surface)
На практике применяется в основном два вида поверхностей Безье: бикубическая 3-го порядка - четырёхугольник, определяемый 16-ю точками, и барицентрическая 3-го порядка - треугольник, определяемый 10 точками. Барицентрическая система координат в треугольнике содержит 3 числа, поэтому она не всегда удобна. Граница поверхности Безье состоит из кривых Безье. Точки, определяющие поверхность, определяют также кривые её границы, включая нормали на них. Это позволяет создавать гладкие составные поверхности, то есть использовать поверхности Безье в качестве патчей Рациональная поверхность Безье (rational Bezier surface) отличается тем, что каждой точке в её определении назначен некоторый "вес", определяющий степень её влияния на форму поверхности.
- B-сплайновая поверхность (B-spline surface)
На практике обычно применяются бикубические B-сплайновые поверхности. Как и поверхности Безье, они определяются 16-ю точками, однако в общем случае не проходят через эти точки. Однако B-сплайны удобно использовать в качестве патчей, так как они хорошо стыкуются друг с другом при использовании общей сетки вершин, а сами вершины позволяют явным образом задавать нормали и касательные на границах патчей. При необходимости более гибкого управления формой поверхности применяют рациональные B-сплайны, неоднородные B-сплайны (Non-Uniform B-spline) а также комбинированный вариант - неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS).