Викия

Математика

Парадокс Кантора

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Парадо́кс Ка́нторапарадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка Править

Предположим, что множество всех множеств V = \{x \mid x = x\} существует. В этом случае справедливо \forall x \forall t (x \in t \rightarrow x \in V), то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует \forall t\; |t| \le |V|мощность любого множества не превосходит мощности V.

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество-степень \mathcal  P(V), и по теореме Кантора |\mathcal P (V)| = 2^{|V|} > |V|, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A) для любой формулы A, не содержащей y свободно.

Другая формулировка Править

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно \mu. Тогда по теореме Кантора 2^\mu > \mu.

Выводы Править

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 г., обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 г.) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A) отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой A.cs:Cantorův paradox

Викия-сеть

Случайная вики