Викия

Математика

Парадокс Бурали-Форти

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В теории множеств парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

ФормулировкаПравить

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если x — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма \textstyle\bigcup x есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов x. Предположим теперь, что \Omega — множество всех порядковых чисел. Тогда \textstyle\bigcup \Omega — порядковое число, большее или равное любому из чисел в \Omega. Но тогда и \textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1 — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в \Omega. Но это противоречит условию, по которому \Omega — множество всех порядковых чисел.

История Править

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, т. е. термов вида «множество всех x таких, что P» (\{x \mid P\}).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия P, с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя-Бернайса позволяется образование терма \{x \mid P\} для произвольных P, но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а собственно классом.cs:Burali-Fortiho paradoxpms:Paradòss ëd Burali-Forti

Викия-сеть

Случайная вики