Викия

Математика

Парадоксы мультиномиального распределения

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Предисловие. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей." [1].

Мультиномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение независимых случайных величин получено так называемым методом выбора с возвращением (каждый раз в процессе проведения очередного независимого испытания выбранные элементы возвращают на прежнее место, в исходное состояние).

Мультиномиальное распределение настоящей интерпретации — распределение зависимых случайных величин (кроме первой) получено в этом столетии методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на подмножества случайных объёмов, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения. Суть метода выбора без возвращения — выбранные элементы множества не возвращают на прежнее место до окончания процесса разбиения исходного множества на его подмножества.

Биномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение одной случайной величины получено так называемым методом выбора с возвращением.

Биномиальное распределение настоящей интерпретации — получено в этом столетии как распределение двух случайных величин. Первая из них независимая, а вторая зависима от первой. Распределение получено методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на два подмножества, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения.

Излагается в рамках минимально необходимого набора параметров, под которым  для мультиномиального распределения и каждой его случайной величины  понимается:  пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание  и дисперсия [2]. К дополнительным параметрам отнесены, например, производящая и характеристическая функции [3], \xi^2- критерий.

Парадокс №1. Мультиномиальное распределение не является распределением независимых случайных величин  Править

Если утверждается, что мультиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации, то произведение вероятностей соответствующих случайных величин  биномиальных распределений 



P(X_i=n_i)= {n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}, \quad i=1,\ldots,k

должно быть вероятностью мультиномиального распределения



P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)={n\choose n_1}\cdots {n\choose n_k}p_1^{n_1}q_1^{n-n_1}\cdots p_k^{n_k}q_k^{n-n_k}.

Однако полученный результат не соответствует формуле вероятностей мультиномиального распределения



P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.

Следовательно, мультиномиальное распределение традиционной интерпретации не является распределением независимых случайных величин, что и требовалось доказать.

Парадокс №2. Каждая случайная величина мультиномиального распределения не имеет биномиальное распределение Править

Этот парадокс доказывается аналогично парадоксу №1.

Если каждая случайная величина мультиномиального распределения традиционной интерпретации имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации



P(X_i=n_i)= {n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}, \quad i=1,\ldots,k,

то произведение этих случайных величин должно быть вероятностью мультиномиального распределения. Однако полученный результат перемножения 



\prod_{i=1}^k P(X_i=n_i)={n\choose n_1}\cdots {n\choose n_k}p_1^{n_1}q_1^{n-n_1}\cdots p_k^{n_k}q_k^{n-n_k}

не соответствует формуле вероятностей мультиномиального распределения. Что и требовалось доказать.

Парадокс №3. Математическое ожидание мультиномиального распределения не является произведением математических ожиданий биномиальных распределений  Править

Если утверждается, что мультиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации с математическим ожиданием



E(X_i=n_i)= p_in, \quad i=1,\ldots,k,

то произведение математических ожиданий соответствующих случайных величин  биномиальных распределений, как произведение независимых случайных величин,  должно приводить к математическому ожиданию   миультиномиального распределения традиционной интерпретации.

Однако полученный результат при условии n>{1\choose\sqrt[k]{p_1,\cdots,p_k}} оказывается больше единицы



\prod_{i=1}^kE(X_i=n_i)=p_1\cdots p_kn^k >1,

что противоречит  аксиоматике Колмогорова . Согласно второй её аксиоме  сумма всех вероятностей, включая и математическое ожидание распределения, должна быть равной единице. Что и требовалось доказать.

Более того,  при  безграничном возрастании числа n испытаний полученный результат стремится к бесконечности.

Парадокс №4. Математическое ожидание каждой случайной величины мультиномиального распределения не является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения Править

Доказывается аналогично доказательству парадокса №3. 

Если утверждается, что математическое ожидание каждой случайной величины мультиномиального распределения является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения традиционной интерпретации, то произведение математических ожиданий соответствующих биномиальных распределений обязано привести к математическому ожиданию мультиномиального распределения. Однако это произведение



\prod_{i=1}^kE(X_i=n_i)=p_1\cdots p_kn^k

не является математическим ожиданием мультиномиального распределения ни современной, ни традиционной интерпретаций, поскольку при условии

n>{1\choose\sqrt[k]{p_1,\cdots,p_k}} оно оказывается больше единицы

и противоречит второй аксиоме аксиоматики Колмогорова. Что и требовалось доказать.

Парадокс №5. Биномиальное распределение традиционной интерпретации не является частным случаем мультиномиального распределения традиционной интерпретации Править

Если утверждается, что биномиальное распределение традиционной интерпретации  является частным случаем мультиномиального распределения традиционной интерпретации 



P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k},


2\le k \le n< \infty, \quad n_1+\ldots+n_k=n, \quad p_1+\ldots +p_k=1

при сокращении в нём числа случайных величин до двух, то сокращая число случайных величин до двух k=2, получаем биномиальное распределение двух случайных величин



P(X_1=n_1,X_2=n_2) = \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},


n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1,

а не одной, каким принято считать биномиальное распределение традиционной интерпретации. Что и требовалось доказать.

Мультиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над материальными объектамиПравить

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Мультиномиальное распределение это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения во времени  t_1,\ldots, t_k, \quad  2\le k\le n и в пространстве конечного  n- множества различимых неупорядоченных элементов (2\le n<\infty),
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • сумма объёмов всех выборок равна объёму исходного множества  \sum _{i=1}^k n_i =n, при этом только одна из выборок может иметь случайный объём в пределах всего объёма исходного множества  0\le n_i\le n,
  • вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств  0\le p_i<1, \quad i=1,\ldots,k\le n принимают за вероятность события с положительным исходом соответствующего распределения Бернулли ,
  • очерёдность следования выборок принимают за нумерацию случайных величин  X_1, \ldots, X_k мультиномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки  n_i, \quad i=1,\ldots, k\le n в момент времени  t_i принимают за числовое значение соответствующей случайной величины  X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1} мультиномиального распределения при условии, что в предшествующий момент времени  t_{i-1} предшествующая случайная величина  X_{i-1} приняла числовое значение  n_{i-1},
  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин мультиномиального распределения,
  • математическое ожидание мультиномиального распределения имеет место, когда число выборок k равно числу элементов  n-множества  k=n и численно равно \frac{n!}{n^n}, \quad 2\le n, <\infty, откуда  n=2, \quad \frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2} - математическое ожидание биномиального распределения.

Мультиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случайПравить

Мультиномиальное распределение появляется в последовательности зависимых случайных испытаний с конечным или счётным числом исходов. По сути — это цепь Маркова, где X_{i+1}-ая случайная величина зависима от предшествующей X_i-ой случайной величины


t_{i+1}>t_i,X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i<t_{i+1}, X_i=n_i,\quad i=1,\ldots,k \le n

следующим образом: X_{i+1}-ая случайная величина в t_{i+1}-ый момент времени принимает числовое значение, равное n_{i+1}, при условии, что в t_i-ый момент времени X_i-ая случайная величина приняла числовое значение, равное n_i. Случайные величины следуют одна за другой в порядке возрастания своих номеров.

X_0, называемое начальным распределением цепи Маркова, для мультиномиального распределения не имеет смысла t_0=0, 
 \quad  X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: t_1, X_1,\ldots, t_k, X_k.

Переходная вероятность мультиномиального распределения


P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),\quad 0\le n_i\le n< \infty

является дискретной функцией времени. Следовательно, и мультиномиальное распределение


\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},

как произведение его случайных величин, является дискретной функцией времени, иными словами, мультиномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Сумма всех вероятностей мультиномиального распределения равна единице. Следовательно, мультиномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Однако в отличие от марковских цепей и марковских процессов мультиномиальное распределение не обладает свойством отсутствия последействия, согласно которому для любого испытания допускается зависимость его от непосредственно предшествующего ему испытания (и только от него).

Причина заключается в том, что в мультиномиальном распределении имеется ещё одна зависимость — каждая случайная величина (кроме первой) зависима от всех ей предшествующих случайных величин.

Зависимость проявляется в том, что предшествующая случайная величина (X_i) мультиномиального распределения в соответствующий момент времени ( t_i) сокращает на своё числовое значение (n_i) верхнюю границу пространства элементарных событий следующей за ней случайной величины (X_{i+1}):


\Omega_{i+1}(t_{i+1}, X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i,X_i=n_i)=[0 \le n_{i+1} \le n-\ldots-n_i],

 i=1,\ldots,k \le n.

Как следствие, все предшествующие случайные величины (если их числовые значения отличны от нуля) поочерёдно в соответствующие моменты времени сокращают на свои числовые значения верхнюю границу пространства элементарных событий последней случайной величины.

В частном случае, когда k=2, имеет место биномиального распределения интерпретации 21-го века.

С точки зрения цепей Маркова — биномиальное распределение интерпретации 21-го века — это простейший марковский процесс с дискретным временем, в котором:

вторая случайная величина зависима от первой (и только от неё)


t_2>t_i,X_2=n_2   \mid   t_i<t_2, X_1=n_1, \quad n_1+n_2=1;

всего лишь одна переходная вероятность


P(t_2,X_2=n_2  \mid  t_1,X_1=n_1);

процесс стахостический, поскольку сумма вероятностей равна единице p_1+p_2=1;

как и в мультиномиальном распределении, начальное состояние цепи Маркова X_0, для биномиального распределения не имеет смысла t_0=0,  \quad  X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: t_1, X_1, \quad t_2, X_2.

ЗаключениеПравить

По числу парадоксов (как минимум 5, а с учётом парадоксов производящих, характеристических функций и \xi^2 - критерия  8) мультиномиальному распределению нет равных. Главные причины возникновения парадоксов — ошибки в логике и в методе получения распределения. В частности, мультиномиальное не потому что его формула содержит мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты, а потому что оно первоначально было образовано из полинома (многочлена).

На самом деле мультиномиальное распределение появляется в процессе разбиения (методом без возвращения) множества различимых и неупорядоченных элементов на несколько подмножеств случайных объёмов, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения. 

Главным распространителем парадоксов мультиномиального распределения и биномиального распределения   является Википедия, которая нарушает заодно и свои же правила ВП МАРГ:  http://ru.wikipedia.org/wiki/Мультиномиальное распределение и http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное распределение (в ней не представлено ни одного источника, не говоря об авторитетном).

Пришло время, когда биномиальное распределение и мультиномиальное распределение описаны на единой методологической основе:

методом индукции от биномиального распределения  приходим к мультииномиальному;

методом дедукции от мультиномиального распределения приходим к биномиальному.

Если и найдётся  человек-чудак, который всерьёз будет утверждать, что << мультиномиальное распределение — это распределение независимых  случайных величин >>,  поприветствуем его как человека из прошлого века.

 Литература Править

  1. http://www.vixri.com/d/Sekej%20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике.Секей Габор. Будапешт, 1988. 215 С. Цитата на С.10»
  2. Голоборщенко В. С. Парадоксы в современной теории вероятностей. Часть 1: Ложность принятых постулатов и парадигм. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2006. Вып. 14, C. 9-15.
  3. Голоборщенко В. С. Производящие и характеристические функции полиномиального и биномиального распределений как парадоксы в современной теории вероятностей Сборник научных трудов МАИТ // Минск, 2008. Вып.17, C. 5-11.

См.такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики