Парадоксы мультиномиального распределения

Предисловие. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей." ^[1].

Мультиномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение независимых случайных величин получено так называемым методом выбора с возвращением (каждый раз в процессе проведения очередного независимого испытания выбранные элементы возвращают на прежнее место, в исходное состояние).

Мультиномиальное распределение настоящей интерпретации — распределение зависимых случайных величин (кроме первой) получено в этом столетии методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на подмножества случайных объёмов, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения. Суть метода выбора без возвращения — выбранные элементы множества не возвращают на прежнее место до окончания процесса разбиения исходного множества на его подмножества.

Биномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение одной случайной величины получено так называемым методом выбора с возвращением.

Биномиальное распределение настоящей интерпретации — получено в этом столетии как распределение двух случайных величин. Первая из них независимая, а вторая зависима от первой. Распределение получено методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на два подмножества, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения.

Излагается в рамках минимально необходимого набора параметров, под которым для мультиномиального распределения и каждой его случайной величины понимается: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия ^[2]. К дополнительным параметрам отнесены, например, производящая и характеристическая функции ^[3], $ \xi^2- $ критерий.

Парадокс №1. Мультиномиальное распределение не является распределением независимых случайных величин Править

Если утверждается, что мультиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации, то произведение вероятностей соответствующих случайных величин биномиальных распределений

$ P(X_i=n_i)= {n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}, \quad i=1,\ldots,k $

должно быть вероятностью мультиномиального распределения

$ P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)={n\choose n_1}\cdots {n\choose n_k}p_1^{n_1}q_1^{n-n_1}\cdots p_k^{n_k}q_k^{n-n_k}. $

Однако полученный результат не соответствует формуле вероятностей мультиномиального распределения

$ P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}. $

Следовательно, мультиномиальное распределение традиционной интерпретации не является распределением независимых случайных величин, что и требовалось доказать.

Парадокс №2. Каждая случайная величина мультиномиального распределения не имеет биномиальное распределение Править

Этот парадокс доказывается аналогично парадоксу №1.

Если каждая случайная величина мультиномиального распределения традиционной интерпретации имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации

$ P(X_i=n_i)= {n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}, \quad i=1,\ldots,k, $

то произведение этих случайных величин должно быть вероятностью мультиномиального распределения. Однако полученный результат перемножения

$ \prod_{i=1}^k P(X_i=n_i)={n\choose n_1}\cdots {n\choose n_k}p_1^{n_1}q_1^{n-n_1}\cdots p_k^{n_k}q_k^{n-n_k} $

не соответствует формуле вероятностей мультиномиального распределения. Что и требовалось доказать.

Парадокс №3. Математическое ожидание мультиномиального распределения не является произведением математических ожиданий биномиальных распределений Править

Если утверждается, что мультиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации с математическим ожиданием

$ E(X_i=n_i)= p_in, \quad i=1,\ldots,k, $

то произведение математических ожиданий соответствующих случайных величин биномиальных распределений, как произведение независимых случайных величин, должно приводить к математическому ожиданию миультиномиального распределения традиционной интерпретации.

Однако полученный результат при условии $ n>{1\choose\sqrt[k]{p_1,\cdots,p_k}} $ оказывается больше единицы

$ \prod_{i=1}^kE(X_i=n_i)=p_1\cdots p_kn^k >1, $

что противоречит аксиоматике Колмогорова . Согласно второй её аксиоме сумма всех вероятностей, включая и математическое ожидание распределения, должна быть равной единице. Что и требовалось доказать.

Более того, при безграничном возрастании числа $ n $ испытаний полученный результат стремится к бесконечности.

Парадокс №4. Математическое ожидание каждой случайной величины мультиномиального распределения не является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения Править

Доказывается аналогично доказательству парадокса №3.

Если утверждается, что математическое ожидание каждой случайной величины мультиномиального распределения является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения традиционной интерпретации, то произведение математических ожиданий соответствующих биномиальных распределений обязано привести к математическому ожиданию мультиномиального распределения. Однако это произведение

$ \prod_{i=1}^kE(X_i=n_i)=p_1\cdots p_kn^k $

не является математическим ожиданием мультиномиального распределения ни современной, ни традиционной интерпретаций, поскольку при условии

$ n>{1\choose\sqrt[k]{p_1,\cdots,p_k}} $ оно оказывается больше единицы

и противоречит второй аксиоме аксиоматики Колмогорова. Что и требовалось доказать.

Парадокс №5. Биномиальное распределение традиционной интерпретации не является частным случаем мультиномиального распределения традиционной интерпретации Править

Если утверждается, что биномиальное распределение традиционной интерпретации является частным случаем мультиномиального распределения традиционной интерпретации

$ P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}, $

$ 2\le k \le n< \infty, \quad n_1+\ldots+n_k=n, \quad p_1+\ldots +p_k=1 $

при сокращении в нём числа случайных величин до двух, то сокращая число случайных величин до двух $ k=2 $, получаем биномиальное распределение двух случайных величин

$ P(X_1=n_1,X_2=n_2) = \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2}, $

$ n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1, $

а не одной, каким принято считать биномиальное распределение традиционной интерпретации. Что и требовалось доказать.

Мультиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над материальными объектамиПравить

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Мультиномиальное распределение это:

случайный процесс безвозвратного разделения во времени $ t_1,\ldots, t_k, \quad 2\le k\le n $ и в пространстве конечного $ n $- множества различимых неупорядоченных элементов ($ 2\le n<\infty $),

разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),

сумма объёмов всех выборок равна объёму исходного множества $ \sum _{i=1}^k n_i =n $, при этом только одна из выборок может иметь случайный объём в пределах всего объёма исходного множества $ 0\le n_i\le n $,

вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств $ 0\le p_i<1, \quad i=1,\ldots,k\le n $ принимают за вероятность события с положительным исходом соответствующего распределения Бернулли ,

эти вероятности неизменны в процессе разбиения множества и пронормированы $ \sum _{i=1}^k p_i =1 $ согласно аксиоматике Колмогорова,

очерёдность следования выборок принимают за нумерацию случайных величин $ X_1, \ldots, X_k $ мультиномиального распределения,

случайный объём каждой выборки $ n_i, \quad i=1,\ldots, k\le n $ в момент времени $ t_i $ принимают за числовое значение соответствующей случайной величины $ X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1} $ мультиномиального распределения при условии, что в предшествующий момент времени $ t_{i-1} $ предшествующая случайная величина $ X_{i-1} $ приняла числовое значение $ n_{i-1} $,

результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин мультиномиального распределения,

минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и мультиномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия,

математическое ожидание мультиномиального распределения имеет место, когда число выборок $ k $ равно числу элементов $ n $-множества $ k=n $ и численно равно $ \frac{n!}{n^n}, \quad 2\le n, <\infty $, откуда $ n=2, \quad \frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2} $ - математическое ожидание биномиального распределения.

Мультиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случайПравить

Мультиномиальное распределение появляется в последовательности зависимых случайных испытаний с конечным или счётным числом исходов. По сути — это цепь Маркова, где $ X_{i+1} $-ая случайная величина зависима от предшествующей $ X_i $-ой случайной величины

$ t_{i+1}>t_i,X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i<t_{i+1}, X_i=n_i,\quad i=1,\ldots,k \le n $

следующим образом: $ X_{i+1} $-ая случайная величина в $ t_{i+1} $-ый момент времени принимает числовое значение, равное $ n_{i+1} $, при условии, что в $ t_i $-ый момент времени $ X_i $-ая случайная величина приняла числовое значение, равное $ n_i $. Случайные величины следуют одна за другой в порядке возрастания своих номеров.

$ X_0 $, называемое начальным распределением цепи Маркова, для мультиномиального распределения не имеет смысла $ t_0=0, \quad X_0=0 $, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: $ t_1, X_1,\ldots, t_k, X_k $.

Переходная вероятность мультиномиального распределения

$ P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),\quad 0\le n_i\le n< \infty $

является дискретной функцией времени. Следовательно, и мультиномиальное распределение

$ \prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}, $

как произведение его случайных величин, является дискретной функцией времени, иными словами, мультиномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Сумма всех вероятностей мультиномиального распределения равна единице. Следовательно, мультиномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Однако в отличие от марковских цепей и марковских процессов мультиномиальное распределение не обладает свойством отсутствия последействия, согласно которому для любого испытания допускается зависимость его от непосредственно предшествующего ему испытания (и только от него).

Причина заключается в том, что в мультиномиальном распределении имеется ещё одна зависимость — каждая случайная величина (кроме первой) зависима от всех ей предшествующих случайных величин.

Зависимость проявляется в том, что предшествующая случайная величина ($ X_i $) мультиномиального распределения в соответствующий момент времени ( $ t_i $) сокращает на своё числовое значение ($ n_i $) верхнюю границу пространства элементарных событий следующей за ней случайной величины ($ X_{i+1} $):

$ \Omega_{i+1}(t_{i+1}, X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i,X_i=n_i)=[0 \le n_{i+1} \le n-\ldots-n_i], $

$ i=1,\ldots,k \le n. $

Как следствие, все предшествующие случайные величины (если их числовые значения отличны от нуля) поочерёдно в соответствующие моменты времени сокращают на свои числовые значения верхнюю границу пространства элементарных событий последней случайной величины.

В частном случае, когда $ k=2 $, имеет место биномиального распределения интерпретации 21-го века.

С точки зрения цепей Маркова — биномиальное распределение интерпретации 21-го века — это простейший марковский процесс с дискретным временем, в котором:

вторая случайная величина зависима от первой (и только от неё)

$ t_2>t_i,X_2=n_2 \mid t_i<t_2, X_1=n_1, \quad n_1+n_2=1; $

всего лишь одна переходная вероятность

$ P(t_2,X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1); $

процесс стахостический, поскольку сумма вероятностей равна единице $ p_1+p_2=1 $;

как и в мультиномиальном распределении, начальное состояние цепи Маркова $ X_0 $, для биномиального распределения не имеет смысла $ t_0=0, \quad X_0=0 $, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: $ t_1, X_1, \quad t_2, X_2 $.

ЗаключениеПравить

По числу парадоксов (как минимум 5, а с учётом парадоксов производящих, характеристических функций и $ \xi^2 $ - критерия 8) мультиномиальному распределению нет равных. Главные причины возникновения парадоксов — ошибки в логике и в методе получения распределения. В частности, мультиномиальное не потому что его формула содержит мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты, а потому что оно первоначально было образовано из полинома (многочлена).

На самом деле мультиномиальное распределение появляется в процессе разбиения (методом без возвращения) множества различимых и неупорядоченных элементов на несколько подмножеств случайных объёмов, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения.

Главным распространителем парадоксов мультиномиального распределения и биномиального распределения является Википедия, которая нарушает заодно и свои же правила ВП МАРГ: http://ru.wikipedia.org/wiki/Мультиномиальное распределение и http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное распределение (в ней не представлено ни одного источника, не говоря об авторитетном).

Пришло время, когда биномиальное распределение и мультиномиальное распределение описаны на единой методологической основе:

методом индукции от биномиального распределения приходим к мультииномиальному;

методом дедукции от мультиномиального распределения приходим к биномиальному.

Если и найдётся человек-чудак, который всерьёз будет утверждать, что << мультиномиальное распределение — это распределение независимых случайных величин >>, поприветствуем его как человека из прошлого века.

Литература Править

↑ http://www.vixri.com/d/Sekej%20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике.Секей Габор. Будапешт, 1988. 215 С. Цитата на С.10»
↑ Голоборщенко В. С. Парадоксы в современной теории вероятностей. Часть 1: Ложность принятых постулатов и парадигм. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2006. Вып. 14, C. 9-15.
↑ Голоборщенко В. С. Производящие и характеристические функции полиномиального и биномиального распределений как парадоксы в современной теории вероятностей Сборник научных трудов МАИТ // Минск, 2008. Вып.17, C. 5-11.

См.такжеПравить

[0] ttp://www.vixri.com/d/Sekej%20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике.Секей Габор. Будапешт, 1988. 215 С. Цитата на С.10»

[1] Голоборщенко В. С. Парадоксы в современной теории вероятностей. Часть 1: Ложность принятых постулатов и парадигм. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2006. Вып. 14, C. 9-15.

[2] Голоборщенко В. С. Производящие и характеристические функции полиномиального и биномиального распределений как парадоксы в современной теории вероятностей Сборник научных трудов МАИТ // Минск, 2008. Вып.17, C. 5-11.

[1]

[2]

[3]

ФЭНДОМ