Викия

Математика

Отрицательное биномиальное распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры r > 0\!
p \in (0;1)\! (real)
Носитель k \in \{0,1,2,\ldots\}\!
Функция вероятности \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!
Функция распределения I_p(r,k+1)\!
Математическое ожидание r\,\frac{1-p}{p}\!
Медиана
Мода \lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\! если r>1
0 если r\leq1
Дисперсия r\,\frac{1-p}{p^2}\!
Коэффициент асимметрии \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!
Коэффициент эксцесса \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!
Характеристическая функция \left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха p, проводимой до r-го успеха.

Определение Править

Пусть \{X_i\}_{i=1}^{\infty} — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i\in \mathbb{N}.

Построим случайную величину Y следующим образом. Пусть k+r — номер r-го успеха в этой последовательности. Тогда Y = k. Более строго, положим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда

Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r.

Распределение случайной величины Y, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: Y \sim \mathrm{NB}(r,p).

Функции вероятности и распределения Править

Функция вероятности случайной величины Y имеет вид:

\mathbb{P}(Y = k) = C_{k+r-1}^k\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots.

Функция распределения Y кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

F_Y(k) = I_p( r, k+1 ).

Моменты Править

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r,

откуда

\mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p},
\mathrm{D}[Y] = r \frac{q}{p^2}.
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
hu:Negatív binomiális eloszlásnl:Negatief-binomiale verdeling

nov:Negativ binomial distributionesu:Sebaran binomial négatip

Викия-сеть

Случайная вики