Викия

Математика

Отношение (логика)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Эту статью следует викифицировать.

Отноше́ние — в логике первого порядка двух- и более аргументный предикат (многоместный предикат), двух- и более предикатное свойство. Знак отношения: R.

В терминах отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики.

Суждение (высказывание), обозначающее отношение, называется относительным суждением (относительным высказыванием). В содержательных формулировках естественных языков отношение выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). Эти подлежащие и дополнения (в зависимости от их числа) в логике называются членами, субъектами или элементами данного отношения.

Также в зависимости от числа элементов в логике говорят о бинарных (двуместных, двучленных), тернарных (трёхместных, трёхчленных), в общем случае — о n-арных (n-местных, n-членных) отношениях.

Выражение отношений в формализованных языках Править

См. также основную статью: Отношение (математика)

Содержательные представления естественных языков реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры) и математической логики. Точное выражение (уточнение) теории множеств отражает экстенсиональный (объёмный) аспект понятия отношения, уточнение математической логики — интенсиональный (смысловой, содержательный) аспект.

Термин «алгебра отношений» используется и для обозначения соответсвующего раздела алгебры, и как синоним термина «логика отношений».

На языке теории множеств и алгебры n-местным (n-арным, в частности, бинарным) отношением называется множество (класс) упорядоченных систем из n элементов (упорядоченных n-ок, соответственно — упорядоченных пар) членов некоторого множества. Это множество назвается полем данного отношения.

Если, например, упорядоченная пара (х, у) принадлежит некоторому отношению R, то говорят также, что х находится в отношении R к у (символически: R(xy) или xRy).

Для понимаемых таким образом отношений определяются понятия области определения данного отношения и области его значений. Множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в отношение R, составляет его область определения (область отправления). Множество их вторых элементов составляет область значений (область прибытия). Аналогичные понятия вводятся и для многоместных отношений. Поскольку отношения являются частными случаями множеств, для них также аналогично тому, как это делается в теории множеств, вводятся операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения отношений.

В формализованных языках математической логики аналогом понятия отношения служит понятие (многоместного) предиката.

С помощью аппарата алгебры отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики, например, понятия функции и операции.

Логика отношений Править

См. также основную статью: Логика отношений

Раздел логики, изучающий высказывания об отношениях между объетами разной природы, называется логикой отношений.

Хотя в логических сочинениях Аристотеля можно найти высказывания об отношений, логика отношений как теория не состоялась в античной логике. Несколько большую разработку эти идеи получили в средневековой логике.

По-настоящему логика отношений была создана только в Европе XIX века. Наиболее значительный вклад в её разработку внесли А. Чёрч, Б. Рассел. Из русских логиков можно назвать С. И. Поварнина.

Независимо от европейской традиции логика отношений была создана в Индии школой ньяя.

Поскольку в математической логике, начиная с XIX века, отно­шения выражаются посредством многоместных предикатов, современная модификация логики отношений в её составе разрабатывается как часть логики предикатов.

Отношение и свойство Править

Многоместные и одноместные предикаты записываются в математической логике в виде пропозици­ональных функций. Число переменных (аргументов) в функции характеризует число мест, на которые могут подставляться имена предметов. Отношения бывают двухместными, Шаблон:S; общий случай называется n-местным отношением.

Виды пропозициональных функций
Обозначение функции Название пропозициональной функции Пример предиката и соответствующей ему пропозициональной функции Действительность, которой соответствует пропозициональная функция Пример реальности
Р(х) или Px Пропозициональная функция с одной переменной «Чётное число (х)» или «x — чётное число» Свойство «Быть чётным числом»
R(x, y) или xRy Пропозициональная функция с дву­мя переменными «х больше у», «Ока короче Волги», «рельсы параллельны между собой» Двухместноое отношение «Боль­ше», «короче», «быть параллельным».
R(x, у, z) Пропозицио­нальная функция с тремя переменными «х находится между у и z»? «x есть сумма y и z» Трёхместное отношение «Находиться между», «быть суммой»
R(x, у, z, u) Пропозицио­нальная функция с четырьмя переменными «х относится к у, точно также, как z к u» («x, y, z, u являются членами пропорции») Четырёхместное отношение «Быть членами пропорции»
и так далее

Отношение отличается от свойства тем, что приписывание свойства одному-единственному индивиду приводит к образо­ванию либо истинного, либо ложного суждения, а отношение есть такая характе­ристика, которая для образования либо истинного, либо лож­ного суждения требует по меньшей мере приписывания ее двум предметам.

Примеры образования ложных и истинных суждений
Характеристика Пример функции Пример истинного суждения Пример ложного суждения Пример бессмысленного выражения
Свойство «х — чётное число» «4 — чётное число» (подстановка индивида 4 вместо переменной х) «5 — чётное число» (подстановкя числа 5 вместо х)
Двухместное отношение «х больше у» «5 больше 3» (подстановка индивидов 5 и 3 вместо х и у) «1 больше 2» (под­становка индивидов 1 и 2 вместо х и у) «3 больше» (отнношение приписывается только одному индивиду 3)

Бессмысленное выражение в последней главе таблицы — выражение, которое не образует ни истинного, ни ложного суждения, и, таким образом лишено смысла.

Отношение также определеяется как многоместное свойство, свойство — как одноместное отношение, но некоторые логические теории отвергают возможность такого отождествления.

Виды отношений Править

Виды отношений по числу элементовПравить

Виды двухместных отношений по их свойствамПравить

  • Обратное отношение (отношение, обратное к R) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R-1. Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R-1)-1 = R.
  • Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.
  • Рефлексивное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х этого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, т. е. для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примеры рефлексивные отношений: равенство, одновременность, сходство.
  • Нерефлексивное отношение (иррефлексивное отношение, антирефлексивное отношение) — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), т. е. возможен случай, что элемент множества не находится в отно­шении R к самому себе. Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать», «быть перпендикулярным».
  • Транзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy&yRz\toxRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
  • Нетранзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz (\neg(xRy&yRz\toxRz)). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»
  • Симметричное отношение двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy), следует, что и у находится в том же отношении к х (уRx). Примером симметричных отношений могут быть равенство (=), неравенство, отношение типа равенства, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
  • Антисимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy и xR-1y следует х = у (т. е. R и R-1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).
  • Асимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy следует \neg yRx. Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
  • Отношение типа равенства (отношение тождества, отношение эквивалентности) — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям): 1) аксиоме рефлексивности: xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе); 2) аксиоме симметрич­ности: xRy\toyRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у, то и у находится в отношении R к х); 3) аксиоме транзитивности: xRy&yRz\toxRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к г). Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке, подобие, одновременность. Пример отнощения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».
  • Отношения порядка — отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — «строгий» порядок.
  • Функциональное отношение (однозначное отношение) — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве и отличающееся тем, что каждому значению у отно­шения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х. Пример: «х отец у». Свойство функциональности отно­шения R записывается в виде аксиомы: (xRy и zRy)\to(x\equivz). Поскольку каждому значению у в выражениях xRy и zRy соответствует одно и то же значение для х и z, то х и z совпадут, окажутся одними и теми же. Функциональное отношение однозначно, поскольку в об­щем случае каждому значению у отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х, но не наоборот.
  • Одно-однозначное отношение (взаим­но однозначное отношение) — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве и отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у, и каждому значению у соответствует единственное значение х. Одно-однозначное отношение является частным случаем однозначного отношения. Примеры одно-однозначного отношения: «х есть отец единственного у».
  • Связанное отношение — это двухместное отношение, определённое на некотором множестве отличающееся тем, что для любых не равных между собой х и у, принаждежащих к этому множеству, одно из них находится в отношении R к другому (т. е. выполнено одно из трёх соотношений: xRy, х = у или yRx). Пример: Отношение «меньше» (<).

Опираясь на различные свойства двухместных отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необ­ходимым для вывода свойством. Например, кажется, что отношение «быть братом» симметрично, поэтому из выс­казывания «а — брат b» можно сделать вывод о том, что «b — брат а». На самом деле, тут в равной степени возможен вывод «b — сестра a».

См. также Править

Литература Править

  • Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / Пер. с англ. — М., 1948.
  • Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер. с англ. — Т. 1. — М., 1960.
  • Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. — М., 1963.
  • Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. — М., 1971.

Источники Править

Шаблон:БСЭ

Шаблон:Нет интервики


Викия-сеть

Случайная вики