ФЭНДОМ


Остаточное событие в теории вероятностей — это случайное событие, определяемое лишь удалёнными членами выделенной последовательности случайных величин.

Определение Править

Пусть $ \{X_n\}_{n=1}^{\infty} $ последовательность случайных величин, определённых на некотором вероятностном пространстве $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $. Пусть $ \mathcal{F}_n $ суть σ-алгебра, порождённая случайной величиной $ X_n $. Тогда σ-алгебра

$ \mathcal{F}_{\infty} = \sigma \left( \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n \ge m} \mathcal{F}_n \right) $

называется остаточной σ-алгеброй последовательности $ \{X_n\} $.

Событие $ A \in \mathcal{F}_{\infty} $ называется остаточным событием.

Замечание Править

  • Если случайные величины $ \{X_n\} $ совместно независимы, то для любого фиксированного $ n \in \mathbb{N} $, остаточная σ-алгебра $ \mathcal{F}_{\infty} $ независима от $ \mathcal{F}_n $. Таким образом, остаточные события не зависят от начальных членов последовательности $ \{X_n\} $.

Примеры Править

  • Событие, состоящее в том, что фиксированная последовательность случайных величин сходится, является остаточным, ибо сходимость последовательности определяется поведением её хвоста.
  • Событие, состоящее в том, что фиксированный ряд случайных величин сходится к определённой сумме, не является остаточным, ибо значение суммы ряда зависит от значений каждого члена.

См. также Править