Остаточное событие

Остаточное событие в теории вероятностей — это случайное событие, определяемое лишь удалёнными членами выделенной последовательности случайных величин.

Определение

Пусть $\{ X_n \}_{n=1}^\infty$ последовательность случайных величин, определённых на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Пусть $\mathcal{F}_n$ суть σ-алгебра, порождённая случайной величиной $X_n$. Тогда σ-алгебра

${\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcap \limits _{m=1}^{\infty }\bigcup \limits _{n\geq m}{\mathcal {F}}_{n}\right)$

называется остаточной σ-алгеброй последовательности $\{ X_n \}$.

Событие $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ называется остаточным событием.

Замечание

• Если случайные величины $\{ X_n \}$ совместно независимы, то для любого фиксированного $n \in \N$, остаточная σ-алгебра $\mathcal{F}_{\infty}$ независима от $\mathcal{F}_n$. Таким образом, остаточные события не зависят от начальных членов последовательности $\{ X_n \}$.

Примеры

• Событие, состоящее в том, что фиксированная последовательность случайных величин сходится, является остаточным, ибо сходимость последовательности определяется поведением её хвоста.
• Событие, состоящее в том, что фиксированный ряд случайных величин сходится к определённой сумме, не является остаточным, ибо значение суммы ряда зависит от значений каждого члена.

См. также

• Закон нуля или единицы Колмогорова.