Викия

Математика

Основная теорема арифметики

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Основная теорема арифметики утверждает:

Каждое натуральное число n>1 представляется в виде n=p_1\cdot\dots\cdot p_k, где p_1,\dots,p_k суть простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Основная теорема арифметики/рамка Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число n единственным образом представимо в виде n=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k}, где p_1 < \dots < p_k — простые числа, и d_1,\dots,d_k — некоторые натуральные числа.

Следствия Править

Доказательство Править

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:

Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y. Основная теорема арифметики/рамка

Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n/p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

СсылкиПравить

ca:Teorema fonamental de l'aritmètica da:Aritmetikkens fundamentalsætningel:Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικήςfa:قضیه اساسی حسابhe:המשפט היסודי של האריתמטיקה hu:A számelmélet alaptételeka:არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემაnl:Hoofdstelling van de rekenkunde pl:Podstawowe twierdzenie arytmetykisimple:Fundamental theorem of arithmetic sl:Osnovni izrek aritmetike sr:Основна теорема аритметике sv:Aritmetikens fundamentalsats th:ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตur:Fundamental theorem of arithmetic

Викия-сеть

Случайная вики