Викия

Математика

Основная теорема алгебры

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Основная теорема алгебрыутверждает, что

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в полекомплексных чисел.

Эквивалентная формулировка теоремы следующая:

Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Следствие Править

Немедленным следствием из теоремы является то, что многочлен

степени n над полем комплексных чисел имеет в нём не больше n корней.

Доказательство. У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x-a)g(x), где g(x) — другой многочлен. Применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x)не окажется линейный множитель. На самом деле существует еще несколько прямых следствий.

Доказательство Править

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

История Править

Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (ум. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлеруточнили формулировку придав ей форму, эквивалентную современной:

Всякий многочлен с вещественнымикоэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Д'Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какого нибудь x   f(x)≠0, где f(x) — многочлен степени ≥1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)|<|f(x)|. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что где-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во 2-й половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжаи других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Гаусс первым дал доказательство без этого предположения (единственным недоказанным Гауссом предположением было то, что многочлен с действительными коэффициентами принимающий как положительное, так и отрицательное значение также имеет и корень, что весьма геометрически наглядно). Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.

Со времён доказательства теоремы в алгебребыло открыто очень много нового, поэтому сегодня «основной» эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим. Кроме того доказательство теоремы не вполне «алгебаическое», оно привлекает утверждения о топологии комплексной плоскости, либо хотя бы вещественной прямой.

Викия-сеть

Случайная вики