Викия

Математика

Ортогональный базис

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e_1,e_2,...,e_n,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент x\in X однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n

называемым рядом Фурье элемента x по системе \{e_n\}. Обычно базис \{e_n\} выбирается так, что |e_n|=1, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа a_n, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированному базису \{e_n\}, имеют вид

a_n=\langle x,e_n\rangle.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система \{e_n\} была базисом, является равенство Парсеваля

x=\sum_{n=1}^\infty \langle x,e_n\rangle e_n

для любого x\in X. Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел \{a_n\} такая, что \sum a_n^2<\infty, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом \{e_n\} ряд \sum_{n=1}^\infty a_ne_n - сходится по норме к некоторому элементу x\in X. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l_2 (теорема Рисса — Фишера).

См.такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики