Викия

Математика

Ортогональные многочлены

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Chebyshev.jpg

Пафнутий Львович Чебышёв

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

~p_0(x),\ p_1(x),\ p_2(x),\ \ldots,

где каждый многочлен ~p_n(x) имеет степень ~n, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве ~L^2.


Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

Определение Править

Ортогональность с весом Править

Пусть ~(a,b)промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка ~(a,b) функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция ~w(x) связана с пространством функций ~L_{2}, для которых сходится интеграл

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty .

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx для вещественных функций,
\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю ~\langle f, g \rangle = 0, то такие функции называются ортогональными с весом ~w(x). Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественных функции.

Классическая формулировка Править

Систему многочленов

~p_0(x),p_1(x),\cdots,p_n(x),\cdots

называют ортогональной, если

  1. ~p_n(x) — многочлен степени ~n,
  2. \langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}, где ~\delta_{mn} — символ Кронекера, ~h_{n} — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму ||p_n||=h_n=1. Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения ~h_n отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Общие свойства последовательностей ортогональных многочленов Править

Рекуррентные соотношения Править

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

где

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n-1} h_{n-1}},
r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle,
~k_n и ~k'_n — коэффициенты при членах ~x^n и ~x^{n-1} в полиноме ~p_n(x).

Эта формула остаётся справедливой и для ~n=0, если положить ~p_{-1}(x)=0.

Доказательство:

Докажем, что для любого n существуют такие коэффициенты a, b и c, что выполняется последнее рекуррентное соотношение.

  • Выберем a так, чтобы коэффициент при x^{n+1} в многочлене p_{n+1}(x) занулялся
a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x) - многочлен n-ой степени.
  • Выберем b так, чтобы коэффициент при x^n в многочлене p_{n+1}(x) занулялся
(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x) - многочлен (n-1)-ой степени.
  • Разложим многочлен в ряд (это возможно, так как система ортогональных многочленов полна)
(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)
  • Полученное выражение умножим скалярно на p_j(x) степени j\le n-1
a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle
Сократим выражение используя ортогональность полиномов и перестановочное свойство скалярного произведения
a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle
  • Если j < n-1, то многочлен xp_j(x) все ещё имеет степень меньше n и ортогонален к p_n(x). Следовательно, \lambda_j = 0 для j < n-1.
Таким образом, ненулевой коэффициент только для j = n-1 и, положив c = \lambda_{n-1}, получаем искомое соотношение
p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x).


Формула Кристоффеля-Дарбу Править

\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-y},

или при y \to x

\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_{n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\right]

Корни многочленов Править

Все корни многочлена ~p_n(x) являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности ~\left[a;b\right]. Шаблон:Hider

Между двумя последовательными корнями многочлена ~p_n(x) расположен в точности один корень многочлена ~p_{n+1}(x) и по крайней мере один корень многочлена ~p_m(x), при ~m>n.

Минимальность нормы Править

Каждый многочлен p_n(x) в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов P_n(x) такой же степени и с таким же первым коэффициентом.

Шаблон:Hider

Полнота системы Править

Система ортогональных многочленов p_i(x) является полной. Это значит, что любой многочлен S(x) степени n может быть представлен в виде ряда

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x),

где \alpha коэффициенты разложения.

Шаблон:Hider

Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленам Править

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

{Q(x)}\,f'' + {L(x)}\,f' + {\lambda}f = 0,\,

где Q(x) и L(x) заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а f(x) и \lambda неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

(R(x)y')' + W(x)\,\lambda\,y = 0,\,\,

где \,R(x) = e^{\int\frac{L(x)}{Q(x)}\,dx},\, W(x) =\frac{R(x)}{Q(x)}.\, Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел {\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \dots и множеству собственных функций P_0, P_1, P_2, \dots\,, обладающих следующими свойствами:

  • P_n(x) - полином степени n, зависящий от {\lambda}_n
  • последовательность P_0, P_1, P_2, \dots\, ортогональна с весовой функцией W(x)
  • Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности
  • Числа \lambda_n и полиномы P_n(x) могут быть получены из формул
{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)
P_n(x) = \frac{1}{e_n\,W(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)\, формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены
Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к Q(x)=1-x^2 с интервалом ортогональности [-1,1]. Решениями являются многочлены Якоби P_n^{(\alpha, \beta)}(x) или их частные случаи многочлены Гегенбауэра C_n^{(\alpha)}(x), Лежандра P_n(x) или Чебышёва обоих типов T_n(x), U_n(x).
2. Лягерроподобные многочлены
Q — многочлен первого порядка, L — первого. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к Q(x)=x и интервалу ортогональности [0,\infty). Решениями являются обобщённые многочлены Лягерра L_n^{(\alpha)}(x) или их частному случаю многочленам Лягерра L_n(x).
3. Эрмитоподобные многочлены
Q — не нулевая константа, L — первого. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к Q(x)=1 и интервалу ортогональности (-\infty,\infty). Решениями являются многочлены Эрмита H_n(x).

Производные ортогональных полиномов Править

Обозначим P_n^{m}(x) как m-ую производную полинома P_n(x). Производная P_n^{m}(x) является полиномом степени n-m и обладает следующими свойствами:

  • ортогональность
Для заданного m последовательность полиномов P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \dots ортогональна с весовой функцией W(x)[Q(x)]^m
P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(W(x)[Q(x)]^m\right)
  • дифференциальное уравнение
{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0, где y(x)=P_n^{m}(x)
  • дифференциальное уравнение второго вида
(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0, где y(x)=P_n^{m}(x)
  • рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)
P_n^{m}(x) = aP_{n+1}^{m+1}(x) + bP_n^{m+1}(x) + cP_{n-1}^{m+1}(x),\,
P_n^{m}(x) = (ax+b)P_n^{m+1}(x) + cP_{n-1}^{m+1}(x),\,
Q(x)P_n^{m+1}(x) = (ax+b)P_n^{m}(x) + cP_{n-1}^{m}(x).\,

Классические ортогональные многочлены Править

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены Якоби Править

Многочлены Якоби обозначаются P_n^{(\alpha, \beta)}(x), где параметры \alpha и \beta вещественные числа больше −1. Если \alpha и \beta не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки x=0.

  • Весовая функция W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальные уравнения
(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n(n+1+\alpha+\beta)
  • Рекуррентная формула
P_{n+1}(x) = (A_n\,x+B_n)\,P_n(x) - C_n\,P_{n-1}(x),\,
где
A_n=\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)},\,
B_n=\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)},\,
C_n=\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}\,
  • Нормировка
P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)}
{n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

Многочлены Гегенбауэра Править

Многочлены Гегенбауэра обозначаются C_n^{(\alpha)}(x), где параметр \alpha вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров \alpha и \beta

C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}
{\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \  P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром \alpha и соответствующей нормализацией.

  • Весовая функция W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2} на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальные уравнения
(1-x^2)\,y'' + (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n(n+2\alpha)
  • Рекуррентная формула
(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha)}(x) = 2(n+\alpha)x\,C_n^{(\alpha)}(x) - (n+2\alpha-1)\,C_{n-1}^{(\alpha)}(x)\,
  • Нормировка
C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\, если \alpha\ne0,\qquad  h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)}
{\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}
  • Прочие свойства
C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \  \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Многочлены Лежандра Править

Многочлены Лежандра обозначаются P_n(x) и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром \alpha=1/2

P_n(x) = C_n^{(1/2)}(x).\,

  • Весовая функция W(x)=1 на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальные уравнения
(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n(n+1)
  • Рекуррентная формула
(n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)x\,P_n(x) - n\,P_{n-1}(x)\,
  • Нормировка
P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!
  • Первые несколько многочленов
P_0(x)=1;\,
P_1(x)=x;\,
P_2(x)=(3x^2-1) / 2;
P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;
P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Многочлены Чебышёва Править

Многочлен Чебышёва T_n(x) часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени n, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1]

T_n(x) = \cos(n\,arccos(x)).\,

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра \alpha \to 0

T_n(x) = \lim_{\alpha \to 0}n\,\Gamma(\alpha)\,C_n^{(\alpha)}.\,

  • Дифференциальное уравнение
(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Собственные числа
\lambda_n = n^2
  • Рекуррентная формула
T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x)\,
  • Нормировка
T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{
\begin{matrix}
\pi   &:~n=0 \\
\pi/2 &:~n\ne 0
\end{matrix}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}

Многочлен Чебышёва второго рода U_n(x) характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале [-1, +1] меньше всего отклоняется от нуля

U_n = \frac{1}{n+1}\,T_{n+1}'\,

  • Весовая функция W(x)=(1-x^2)^{1/2} на промежутке ортогональности [-1,1]
  • Дифференциальное уравнение
(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0
  • Нормировка
U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Многочлены Лагерра Править

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лягерра обозначаются L_n^{(\alpha)}(x), где параметр \alpha вещественное число больше -1. Для \alpha = 0 обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лягерра

L_n(x) = L_n^{(0)}(x).\,

  • Весовая функция W(x)=x^{\alpha}e^{-x} на промежутке ортогональности [0,\infty)
  • Дифференциальные уравнения
x\,y'' + (\alpha + 1-x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\, \qquad (x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, y')' + {\lambda}\,x^{\alpha}\,e^{-x}\,y = 0\,
  • Собственные числа
\lambda_n = n
  • Рекуррентная формула
(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha)}(x) = (2n+1+\alpha-x)\,L_n^{(\alpha)}(x) - (n+\alpha)\,L_{n-1}^{(\alpha)}(x)\,
  • Нормировка
k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!
  • Прочие свойства
L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Многочлены Эрмита Править

  • Весовая функция W(x)=e^{-x^2} на промежутке ортогональности [-\infty,\infty]
  • Дифференциальные уравнения
y'' - 2xy' + {\lambda}\,y = 0\, \qquad (e^{-x^2}\,y')' + e^{-x^2}\,\lambda\,y = 0\,
  • Собственные числа
\lambda_n = 2n
  • Рекуррентная формула
H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) - 2n\,H_{n-1}(x)\,
  • Нормировка
k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n
  • Первые несколько многочленов
H_0(x) = 1\,
H_1(x) = 2x\,
H_2(x) = 4x^2-2\,
H_3(x) = 8x^3-12x\,
H_4(x) = 16x^4-48x^2+12\,

Построение ортогональных многочленов Править

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Править

Система ортогональных многочленов f_1, f_2, \ldots, f_k может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов g_k(x)=x^k следующим образом. Определим проектор как

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \; dx \over  \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x),

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме


\begin{align}
f_1 & = g_1, \\
f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\
f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\
& {}\  \  \vdots \\
f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{f_j}\,(g_k).
\end{align}

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

По моментам весовой функции Править

Весовая функция ~w(x), заданная на промежутке ~\left[a;b\right], однозначно определяет систему ортогональных многочленов \{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty} с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

моменты весовой функции, тогда многочлен p_n(x) может быть представлен в виде:

 p_n(x) = \det\left[ 
\begin{matrix}
\mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\
\mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\
\mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\
\vdots & \vdots & \vdots &      & \vdots \\
\mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\
1 & x & x^2 & \cdots & x^n
\end{matrix}
\right] .

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум O(n^3) операций.

Шаблон:Hider

По рекуррентным формулам Править

Если выбрать нормировку многочлена p_n(x) таким образом, что коэффициент k_n при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \beta_n\ p_{n-1}(x)},

где

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \beta_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}.

Применение ортогональных многочленов Править

Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул


\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n}  w_i f(x_i),

где x_i и w_i являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов f(x) до степени 2n-1 включительно. При этом узлы x_i есть корни n-го полинома из последовательности полиномов p_0(x),p_1(x), ..., ортогональных с весовой функцией w(x). Веса w_i вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.

Так же многочлены Чебышёва первого T_n(x) и второго U_n(x) типа часто используется для аппроксимации функций.

Примечания Править

Шаблон:Reflist

Ссылки Править

Для дальнейшего чтения Править

Шаблон:Rq Шаблон:Ортогональные многочлены

Викия-сеть

Случайная вики