Викия

Математика

Ортогональное преобразование

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ортогональное преобразованиелинейное преобразование A евклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов.

СвойстваПравить

  • Ортогональные преобразования и только они переводят ортонормированный базис в ортонормированный.
  • Необходимым и достаточным условием ортогональности A является также равенство A^*=A^{-1}, где A^*сопряженное, а A^{-1} — обратное линейные преобразования.
  • В ортонормированном базисе ортогональные преобразования (и только им) соответствуют ортогональные матрицы.
  • Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю 1, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
  • Определитель ортогонального преобразования равен 1 (собственное ортогональное преобразование) или -1 (несобственное ортогональное преобразование).
  • В произвольном n-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
  • Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композицииортогональную группу данного евклидова пространства.

Размерность дваПравить

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом, и его матрица в ортонормированном базисе имеет вид

\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\phi&\sin\phi\\-\sin\phi&\cos\phi\end{pmatrix}

где \phi — угол поворота, а всякое несобственное ортогональное преобразование является отражением относительно некоторой прямой, его матрица в подходящем ортонормированном базисе имеет вид

\begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix}

Размерность 3Править

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Викия-сеть

Случайная вики